PROGRESSÃO ARITIMÉTICA A soma do primeiro e quinto termos de uma PA é 26 e o produto do segundo e qu.... Pergunta de ideia deMitchocence

October 2020 1 42 Report

PROGRESSÃO ARITIMÉTICA
A soma do primeiro e
quinto termos de uma PA
é 26 e o produto do
segundo e quarto é 160.
Calcula a soma dos
primeiros seis termos.

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korvo

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E aí mano,

podemos expressar a P.A. da seguinte forma:

$a_1+a_5=26~~(I)\\
a_2*a_4=160~~(II)\\\\
a_1+(a_1+4r)=26~~(I)\\
(a_1+r)*(a_1+3r)=160~~(II)\\\\
2a_1+4r=26~\to~2a_1=26-4r~\to~a_1= \dfrac{26-4r}{2}~\to~a_1=13-2r(I)\\\\
Substituindo,~(I)~em~(II),~teremos:\\\\
(13-2r+r)*(13-2r+3r)=160\\
(13-r)*(13+r)=160\\
169-r^2=160\\
-r^2=160-169\\
-r^2=-9~~*~~(-1)\\
r^2=9\\
r=\pm \sqrt{9}\\
r=\pm3$

Sabendo-se que a razão vale + ou - 3, podemos achar o 1º inserindo-a em uma das equações, vamos pela equação I:

$para~r=3:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~para~r=-3:\\\\
2a_1+4r=26~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2a_1+4r=26\\
2a_1+4*3=26~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2a_1+4*(-3)=26\\
2a_1+12=26~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2a_1-12=26\\
2a_1=26-12~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2a_1=26+12\\
2a_1=14~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2a_1=38\\\\
a_1= \dfrac{14}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a_1= \dfrac{38}{2} \\\\
a_1=7~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a_1=19$

Para r=3 e primeiro termo 7, podemos encontrar a soma dos 6 primeiros termos:

$S_n= \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\\\\
S_{6}= \dfrac{(7+a_6)*6}{2}\\\\
S_6= (7+a_1*5r)*3~~~~~~~~~~~~S_6=(19+a_1*5r)*3\\
S_6=(7+7*5*3)*3~~~~~~~~~~S_6=(19+19*5*(-3))*3\\
S_6=(7+105)*3~~~~~~~~~~~~~~~S_6=(19+(-285))*3\\
S_6=112*3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~S_6=(-266)*3\\\\
\boxed{S_6=336}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{S_6=-798}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))

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