✅ Após resolver todos os devido cálculos, concluímos que a proposição dada de fato é verdadeira, ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf 2^{n} < 2^{n + 1},\: \forall n \in \mathbb{N}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a proposição:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2^{n} < 2^{n + 1},\: \forall n \in \mathbb{N}\end{gathered}$}[/tex]
OBSERVAÇÃO: O conjunto natural que estou utilizando é o conjunto construído com os axiomas de Peano. Portanto, não possui o "O" como elemento.
Como devemos demonstrar utilizando o princípio da indução finita, então, devemos:
Como a proposição dada é válida para todos os elementos do conjunto dos naturais, então o caso base ocorre quando:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n = 1\end{gathered}$}[/tex]
Verificando o caso base:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}2^{1} & < 2^{1 + 1}\\2 & < 2^{2}\\2 & < 4\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, o caso base é verdadeiro, isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(1) \Longrightarrow \textrm{Verdadeira}\end{gathered}$}[/tex]
Para isso, devemos substituir o "n" pelo "k" na proposição. Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(k):\: 2^{k} < 2^{k + 1},\:\forall k \in \mathbb{N}\end{gathered}$}[/tex]
Admitindo-se que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(k) \Longrightarrow \textrm{Verdadeira}\end{gathered}$}[/tex]
Devemos provar a veracidade da seguinte proposição:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf I}\:\:\:\:\:\:\:P(k + 1):\: 2^{k + 1} < 2^{k + 1 + 1}\end{gathered}$}[/tex]
Para provar a proposição "P(k + 1)" devemos partir do primeiro membro da inequação "I", realizando as manipulações algébricas e respeitando a hipótese indutiva, até chegarmos ao segundo membro da referida inequação. Então, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}2^{k + 1} & = 2^{k}\cdot2^{1}\:\:\:\:\:\:\:\:(\bf \textrm{se}\:2^{k} < 2^{k + 1})\\& < 2^{k + 1}\cdot2^{1}\\& = 2^{k + 1 + 1}\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, a proposição "P(k + 1)" de fato é verdadeira, ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(k + 1)\Longrightarrow \textrm{Verdadeira}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
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✅ Após resolver todos os devido cálculos, concluímos que a proposição dada de fato é verdadeira, ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf 2^{n} < 2^{n + 1},\: \forall n \in \mathbb{N}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a proposição:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2^{n} < 2^{n + 1},\: \forall n \in \mathbb{N}\end{gathered}$}[/tex]
OBSERVAÇÃO: O conjunto natural que estou utilizando é o conjunto construído com os axiomas de Peano. Portanto, não possui o "O" como elemento.
Como devemos demonstrar utilizando o princípio da indução finita, então, devemos:
Como a proposição dada é válida para todos os elementos do conjunto dos naturais, então o caso base ocorre quando:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n = 1\end{gathered}$}[/tex]
Verificando o caso base:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}2^{1} & < 2^{1 + 1}\\2 & < 2^{2}\\2 & < 4\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, o caso base é verdadeiro, isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(1) \Longrightarrow \textrm{Verdadeira}\end{gathered}$}[/tex]
Para isso, devemos substituir o "n" pelo "k" na proposição. Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(k):\: 2^{k} < 2^{k + 1},\:\forall k \in \mathbb{N}\end{gathered}$}[/tex]
Admitindo-se que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(k) \Longrightarrow \textrm{Verdadeira}\end{gathered}$}[/tex]
Devemos provar a veracidade da seguinte proposição:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf I}\:\:\:\:\:\:\:P(k + 1):\: 2^{k + 1} < 2^{k + 1 + 1}\end{gathered}$}[/tex]
Para provar a proposição "P(k + 1)" devemos partir do primeiro membro da inequação "I", realizando as manipulações algébricas e respeitando a hipótese indutiva, até chegarmos ao segundo membro da referida inequação. Então, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}2^{k + 1} & = 2^{k}\cdot2^{1}\:\:\:\:\:\:\:\:(\bf \textrm{se}\:2^{k} < 2^{k + 1})\\& < 2^{k + 1}\cdot2^{1}\\& = 2^{k + 1 + 1}\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, a proposição "P(k + 1)" de fato é verdadeira, ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(k + 1)\Longrightarrow \textrm{Verdadeira}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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