Resposta:

O resto da divisão de P(x) por x² - 1 é -4.

A alternativa correta é a alternativa E.

Explicação passo-a-passo:

A Tarefa nos informa que, ao se dividir o polinômio P(x) pelo binômio (x - 1), o resto é igual a 1, e, ao se dividir o mesmo polinômio P(x) pelo binômio (x + 1), o resto é igual a - 5.

Com estas duas informações, nós podemos determinar o resto da divisão de P(x) por x² - 1.

Sabemos que x² - 1 corresponde ao produto notável "a diferença de dois quadrados":

[tex] {a}^{2} - {b}^{2} = (a - b) \times (a + b)[/tex]

Desta forma:

[tex] {x}^{2} - 1 = {x}^{2} - {1}^{2} = \\ = (x - 1) \times (x + 1)[/tex]

Assim, o resto da divisão de P(x) por x² - 1 será a combinação dos restos, ao se dividir P(x) por (x - 1) e por (x + 1).

Se o resto, ao se dividir P(x) por (x - 1) é igual a 1 e o resto, ao se dividir P(x) por (x + 1), é igual a -5, o resto da divisão de P(x) por x² - 1 será a soma dos dois restos:

[tex]1 + ( - 5) = 1 - 5 = - 4[/tex]

Portanto, o resto da divisão de P(x) por x² - 1 é -4.

A alternativa correta é a alternativa E: nenhuma das anteriores (n.d.a.).

Resposta:

[tex]\Large \textsf{Leia abaixo}[/tex]

Explicação passo a passo:

[tex]\Large \text{$ \sf P(x) \:\%\:(x - 1) = 1 \rightarrow P(1) = 1$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf P(x) \:\%\:(x + 1) = -5 \rightarrow P(-1) = -5$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf P(x) = Q(x)\:.\:(x^2 - 1) + R(x)$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf P(x) = Q(x)\:.\:(x^2 - 1) + ax + b$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf P(1) = Q(1)\:.\:(1^2 - 1) + a\:.\:1 + b$}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\text{$ \sf a + b = 1$}}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf P(-1) = Q(x)\:.\:((-1)^2 - 1) + a(-1) + b$}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\text{$ \sf -a + b = -5$}}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf 2b = -4$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf b = -2$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf -a - 2 = -5$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf a = 3$}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\boxed{\text{$ \sf R(x) = 3x - 2$}}}[/tex]