Resposta:

1 a 50 = 15

1 a 100 = 20

1 a 200 = 41

1 a 300 = 160

Explicação passo-a-passo:

De 1 até 50:  

1, 2 ,3,4,5,6,7,8,9,10    1 vez  

11,12,13,14,15,16,17,18,19,20          2 vezes

21,22,23,24,25,26,27,28,29,30  10 vezes (22 são dois algarismos 2)

31,32,33,34,35,36,37,38,39,40  1 vez  

41,42,43,44,45,46,47,48,49,50  1 vez

Portanto de 1 até 50 usamos 15 vezes o número 2  

De 50 até 100:  

51,52,53,54,55,56,57,58,59,60         1 vez

61,62,63,64,65,66,67,68,69,70          1 vez

71,72,73,74,75,76,77,78,79,80        1 vez

81, 82,83,84,85,86,87,88,89,90         1 vez

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100       1 vez

Portanto de 50 a 100 temos 5 vezes  

De 101 até 200:  

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110   1 vez

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120          2 vezes

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130   10 vezes

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140   1 vez

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150   1 vez

151 152 153 154 155 156 157 158 159 160   1 vez

161 162 163 164 165 166 167 168 169 170   1 vez

171 172 173 174 175 176 177 178 179 180   1 vez

181 182 183 184 185 186 187 188 189 190   1 vez

191 192 193 194 195 196 197 198 199 200   2 vezes

Portanto de 101 a 200 temos 21 vezes  

De 201 até 300:  

201 202 203 204 205 206 207 208 209 210   11 vezes

211 212 213 214 215 216 217 218 219 220           12 vezes

221 222 223 224 225 226 227 228 229 230   20 vezes

231 232 233 234 235 236 237 238 239 240   11 vezes

241 242 243 244 245 246 247 248 249 250   11 vezes

251 252 253 254 255 256 257 258 259 260   11 vezes

261 262 263 264 265 266 267 268 269 270   11 vezes

271 272 273 274 275 276 277 278 279 280   11 vezes

281 282 283 284 285 286 287 288 289 290   11 vezes

291 292 293 294 295 296 297 298 299 300   10 vezes

Portanto de 201 a 300 temos 119 vezes  

Resumo:  

a) de 1 até 50 → 15 vezes  

b) de 1 até 100 → 20 vezes (15+5)  

c) de 1 até 200 → 41 vezes (20+21)  

d) de 1 até 300 → 160 vezes (41+119)