As integrais indefinidas resultam nas seguintes funções primitivas:

a) F(x) = x·eˣ - eˣ + c

b) F(x) = eˣ·(x² - 2x + 2) + c

c) F(x) = eˣ·(x³ - 3x² + 6x - 1) + c

d) F(x) = (eˣ/2)·(sen x - cos x) + c

Integral

Note que as funções a serem integradas são formadas pelo produto de duas funções, então podemos utilizar a integração por partes:

∫u dv = u·v - ∫v du

a) Seja u = x e dv = eˣ dx, teremos:

du = dx

v = eˣ

F(x) = ∫x·eˣ dx = x·eˣ - ∫eˣ · dx

F(x) = x·eˣ - eˣ

F(x) = x·eˣ - eˣ + c

Calculando a derivada:

dF/dx = 1·eˣ + x·eˣ - eˣ + 0 = x·eˣ

b) Seja u = x² e dv = eˣ dx, teremos:

du = 2x dx

v = eˣ

F(x) = x²·eˣ - ∫eˣ · 2x dx

∫eˣ · 2x dx

u = 2x → du = 2 dx

dv = eˣ dx → v = eˣ

∫eˣ · 2x dx = 2x·eˣ - ∫2eˣ dx

∫eˣ · 2x dx = 2x·eˣ - 2eˣ = 2eˣ·(x - 1) + c

F(x) = x²·eˣ - 2eˣ·(x - 1)

F(x) = eˣ·(x² - 2x + 2) + c

Calculando a derivada:

dF/dx = eˣ·(x² - 2x + 2) + eˣ·(2x - 2)

dF/dx = eˣ·x²

c) Seja u = x³ e dv = eˣ dx, teremos:

du = 3x² dx

v = eˣ

F(x) = x³·eˣ - ∫eˣ · 3x² dx

Aplicando a integração por partes duas vezes, chegamos a:

F(x) = eˣ·(x³ - 3x² + 6x - 1) + c

Calculando a derivada:

dF/dx = eˣ·(x³ - 3x² + 6x - 6) + eˣ·(3x² - 6x + 6)

dF/dx = eˣ·x³

d) Seja u = sen x e dv = eˣ dx, teremos:

du = cos x dx

v = eˣ

F(x) = sen x·eˣ - ∫eˣ · cos x dx

Seja u = cos x e dv = eˣ dx, teremos:

du = -sen x dx

v = eˣ

F(x) = sen x·eˣ - (cos x · eˣ + ∫eˣ sen x dx)

F(x) = sen x·eˣ - cos x · eˣ - F(x)

2·F(x) = eˣ·(sen x - cos x)

F(x) = (eˣ/2)·(sen x - cos x) + c

Calculando a derivada:

dF/dx = (eˣ/2)·(sen x - cos x) + (eˣ/2)·(cos x + sen x)

dF/dx = (eˣ/2)·2·sen x

dF/dx = eˣ·sen x

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