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Resposta passo a passo:

A questão propõe que seja efetuado cada um dos produtos, "caso existam".

Lembrando da propriedade da multiplicação entre matrizes que diz que:

"a multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B ".

E vale lembrar também que na multiplicação de matrizes, a ordem dos elementos afeta o resultado. Ou seja, ela não é comutativa:

A . B ≠ B . A

Então, primeiro iremos verificar se é possível multiplicar as matrizes, para, se caso for possível, resolvê-las:

A)

[tex]\left[\begin{array}{ccc}2&3&1\end{array}\right] *\left[\begin{array}{c}5\\4\\2\end{array}\right][/tex]

Como [tex]A_{1\bold {3}}[/tex] e [tex]B_{\bold {3}1}[/tex], é possível haver multiplicação, resultando em [tex]C_{11}[/tex]:

[tex]C_{11} =2\times5\ +\ 3\times4\ +\ 1\times2\\\\C_{11} =10\ +\ 12\ +\ 2\\\\C_{11} =24[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{c}24\end{array}\right][/tex]

[tex]--------------------------[/tex]

B)

[tex]\left[\begin{array}{ccc}3&1&2\\1&4&2\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}4&2&1\\3&0&1\end{array}\right][/tex]

Como [tex]A_{2\bold {3}}[/tex] e [tex]B_{\bold {2}3}[/tex], não é possível haver multiplicação.

[tex]--------------------------[/tex]

C)

[tex]\left[\begin{array}{ccc}2&1&3\\4&2&1\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\3&1&4\\1&2&0\end{array}\right][/tex]

Como [tex]A_{2\bold {3}}[/tex] e [tex]B_{\bold {3}3}[/tex], é possível haver multiplicação, resultando em [tex]C_{23}[/tex]:

[tex]C_{11} = 2\times1\ +\ 1\times3\ +\ 3\times1\\\\C_{11} = 2\ +\ 3\ +\ 3\\\\C_{11} = 8[/tex]

[tex]C_{12} =2\times0\ + 1\times1\ + 3\times2\\\\C_{12} =0\ + 1\ + 6\\\\C_{12} =7[/tex]

[tex]C_{13} =2\times2\ +\ 1\times4\ +\ 3\times0\\\\C_{13} =4\ +\ 4\ +\ 0\\\\C_{13} =8[/tex]

[tex]C_{21} =4\times1\ +\ 2\times3\ +\ 1\times1\\\\C_{21} =4\ +\ 6\ +\ 1\\\\C_{21} =11[/tex]

[tex]C_{22} =4\times0\ +\ 2\times1\ +\ 1\times2\\\\C_{22} =0\ +\ 2\ +\ 2\\\\C_{22} =4[/tex]

[tex]C_{23} =4\times2\ +\ 2\times4\ +\ 1\times0\\\\C_{23} =8\ +\ 8\ +\ 0\\\\C_{23} =16[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{ccc}8&7&8\\11&4&16\end{array}\right][/tex]

[tex]--------------------------[/tex]

D)

[tex]\left[\begin{array}{c}5\\6\\1\\0\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}2&1&-2\end{array}\right][/tex]

Como [tex]A_{4\bold{1}}[/tex] e [tex]B_{\bold{1}3}[/tex], é possível haver multiplicação, resultando em [tex]C_{43}[/tex]:

[tex]C_{11} =5\times2\\\\C_{11} =10[/tex]

[tex]C_{12} =5\times1\\\\C_{12} =5[/tex]

[tex]C_{13} =5\times(-2)\\\\C_{13}=-10[/tex]

[tex]C_{21} =6\times2\\\\C_{21} =12[/tex]

[tex]C_{22} =6\times1\\\\C_{22} =6[/tex]

[tex]C_{23} =6\times(-2)\\\\C_{23} =-12[/tex]

[tex]C_{31} =1\times2\\\\C_{31} =2[/tex]

[tex]C_{32} =1\times1\\\\C_{32} =1[/tex]

[tex]C_{33} =1\times(-2)\\\\C_{33} =-2[/tex]

[tex]C_{41} =0\times2\\\\C_{41} =0[/tex]

[tex]C_{42} =0\times1\\\\C_{42} =0[/tex]

[tex]C_{43} =0\times(-2)\\\\C_{43} =0[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{ccc}10&5&-10\\12&6&-12\\2&1&-2\\0&0&0\end{array}\right][/tex]