La force, en newtons (N), que le Soleil de masse
M= 1,99 x 1030 kg exerce sur la Terre de masse
m = 5,97 x 1024 kg est donnée par : F(r)= GmM/r2
où rest la distance (en m) entre ces deux astres
et G= 6,67 x 10-11 N-m²-kg-2 est la constante de
gravitation universelle.
• Dresser le tableau de variations de F sur l'inter-
valle [148 x 10⁹; 153 × 10⁹].
M= 1,99 x 1030 kg exerce sur la Terre de masse
m = 5,97 x 1024 kg est donnée par : F(r)= GmM/r2
où rest la distance (en m) entre ces deux astres
et G= 6,67 x 10-11 N-m²-kg-2 est la constante de
gravitation universelle.
• Dresser le tableau de variations de F sur l'inter-
valle [148 x 10⁹; 153 × 10⁹].
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La fonction F(r) est définie comme suit :
F(r) = GmM/r²
où m est la masse de la Terre, M est la masse du Soleil, r est la distance entre la Terre et le Soleil, et G est la constante de gravitation universelle.
Le tableau de variations de F sur l'intervalle [148 x 10⁹; 153 × 10⁹] est le suivant :
| Distance r (en m) | Fonction F(r) (en N) | Signe de F(r) | Dérivée de F(r) |
|--------------------|-----------------------|---------------|-------------------|
| 148 x 10⁹ | 3,52 x 10²² | + | - |
| 150 x 10⁹ | 3,53 x 10²² | + | 0 |
| 153 x 10⁹ | 3,50 x 10²² | + | + |
Pour trouver le signe de F(r), on remarque que le numérateur (GmM) est positif, car G, m et M sont tous positifs. Le dénominateur (r²) est également positif, car r est la distance entre deux astres et est donc toujours positive. Ainsi, F(r) est toujours positive sur l'intervalle [148 x 10⁹; 153 × 10⁹].
Pour trouver la dérivée de F(r), on dérive la fonction F(r) par rapport à r :
F'(r) = -2GmM/r³
On remarque que F'(r) est négative lorsque r est inférieur à 150 x 10⁹ m, et positive lorsque r est supérieur à 150 x 10⁹ m. En effet, pour r inférieur à 150 x 10⁹ m, le dénominateur r³ est plus grand que pour r supérieur à 150 x 10⁹ m, ce qui fait que F'(r) est plus petit (en valeur absolue) pour r inférieur à 150 x 10⁹ m que pour r supérieur à 150 x 10⁹ m. Ainsi, la fonction F(r) est décroissante sur l'intervalle [148 x 10⁹; 150 x 10⁹] et croissante sur l'intervalle [150 x 10⁹; 153 x 10⁹]. La valeur de la dérivée de F(r) est nulle pour r = 150 x 10⁹ m, ce qui correspond à un point d'inflexion de la fonction F(r).
Le tableau de variations de F indique donc que la force gravitationnelle entre le Soleil et la Terre est maximale pour une distance de 150 x 10⁹ m, avec une valeur de 3,53 x 10²² N. Cette force est décroissante pour les distances inférieures à 150 x 10⁹ m et croissante pour les distances supérieures à 150 x 10⁹ m.