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Tarefa

Resolva as equações em C

a) 2x^2 + 98 = 0

b) 2x^2 - 12x + 26 = 0

c) x^2 - 2x + 5 = 0

d) x^2 - 2x + 2 = 0

Usando os métodos de Resolução de Equações do segundo grau, bem

como a noção de Unidade Imaginária nos Números Complexos, obtém-se:

a) x = + 7i     ou    x = - 7i

b) x = 3 +2i   ou    x = 3 -2i

c)  x = 1 +2i   ou    x = 1 - 2i

d)  x = 1 + i    ou    x = 1 - i

Resolução

As equações completas do segundo grau são do tipo:

[tex]\Large\text{$ax^{2} +bx+c=0~~~~~~~a\neq 0$}[/tex]

e

[tex]\Large\text{$a~{;}~b~{;}~c~{;}~~\in R$}[/tex]

Observação 1

Tipos de Equações do segundo grau

• completas ( como a indicada atrás )

• incompletas ( falta algum dos termos)

Todas podem ser resolvidas pela fórmula resolvente, chamada Fórmula  de Bhaskara

Mas as equações incompletas têm caminhos mais curtos para obter as raízes.

a)

[tex]\Large\text{$2x^2+98=0$}[/tex]

[tex]\Large\text{$2x^2=-98$}[/tex]

[tex]\Large\text{$2x^2\div2=-98\div2$}[/tex]

[tex]\Large\text{$x^2=-49$}[/tex]

Se fosse resolução em R , dizia-se que era impossível resolver pois não existem raízes quadradas de números negativos.

Mas no conjunto dos números complexos é possível.

Observação 2

Unidade Imaginária

[tex]\Large\text{$\sqrt{-1} =i $}[/tex]

Permite escrever números Complexos como :

[tex]\Large\text{$3+i$}[/tex]

[tex]\Large\text{$-12+i$}[/tex]

• Assim sempre que tenha uma raiz quadrada de um número negativo vai- se desdobrar num produto onde um dos fatores será [tex]\large\text{$\sqrt{-1} =i $}[/tex]

Conclusão da Resolução

[tex]\Large\text{$x^2=-49$}[/tex]

[tex]\Large\text{$x=+\sqrt{-49}~~~~~~~~~x=-\sqrt{-49} $}[/tex]

Desdobrando o radical

[tex]\Large\text{$x_{1} =+\sqrt{49\cdot(-1)}=\sqrt{49}\cdot\sqrt{-1} =\boxed{7i} $}[/tex]

a outra raiz é

[tex]\Large\text{$x_{2} =-\sqrt{49\cdot(-1)}=-\sqrt{49}\cdot\sqrt{-1} =\boxed{-7i} $}[/tex]

b)

[tex]\Large\text{$2x^2-12x+26=0$}[/tex]

Resolução pela Fórmula Bhascara

[tex]\Large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$}[/tex]

Recolha de informação

[tex]\Large\text{$a=2$}[/tex]

[tex]\Large\text{$b=-12$}[/tex]

[tex]\Large\text{$c=26$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-(-12) + \sqrt {(-12)^2-4\cdot 2 \cdot 26}}{2\cdot 2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+12 + \sqrt {144-208}}{4}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+12 + \sqrt {-64}}{4}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+12 + \sqrt {64\cdot (-1)}}{4}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+12 + \sqrt {64}\cdot\sqrt{-1} }{4}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+12 + 8 i }{4}$}[/tex]

Simplificar o numerador

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{4\cdot(3 + 2 i) }{4}$}[/tex]

[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{1} = 3 + 2 i$}}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{+12 - 8 i }{4}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{4\cdot(3 -2 i) }{4}$}[/tex]

[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{2} = 3 -2 i$}}[/tex]

c)

[tex]\Large\text{$x^2-2x+5=0$}[/tex]

Recolha de informação

[tex]\Large\text{$a=1$}[/tex]

[tex]\Large\text{$b=-2$}[/tex]

[tex]\Large\text{$c=5$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-(-2) + \sqrt {(-2)^2-4\cdot1 \cdot 5}}{2\cdot 1}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+2 + \sqrt {4-20}}{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+2 + \sqrt {-16}}{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{2 + \sqrt {16\cdot(-1)}}{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{2 + \sqrt {16}\cdot\sqrt{-1} }{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{2 +4i }{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{2\cdot(1 +2i) }{2}$}[/tex]

[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{1} = 1 +2i$}}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{2 -4i }{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{2\cdot(1 -2i) }{2}$}[/tex]

Cancelam-se o valor 2 no numerador e no denominador

[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{2} =1 -2i$}}[/tex]

d)

[tex]\Large\text{$ x^2-2x+2=0$}[/tex]

Recolha de informação

[tex]\Large\text{$a=1$}[/tex]

[tex]\Large\text{$b=-2$}[/tex]

[tex]\Large\text{$c=2$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-(-2) + \sqrt {(-2)^2-4\cdot1 \cdot 2}}{2\cdot 1}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+2 + \sqrt {4-8}}{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+2 + \sqrt {-4}}{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+2 + \sqrt {4\cdot(-1)}}{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+2 + \sqrt {4}\cdot\sqrt{-1} }{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+2 + 2i }{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{2\cdot(1 + i) }{2}$}[/tex]

[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{1} = 1 + i$}}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{+2 - \sqrt {-4}}{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{+2 - 2i }{2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{2\cdot(1 - i) }{2}$}[/tex]

[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{2} = 1 - i$}}[/tex]

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https://brainly.com.br/tarefa/35141753?referrer=searchResults

Bons estudos.

Att     Duarte Morgado  

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[tex](\cdot)[/tex]  multiplicação      [tex](\neq )[/tex]   diferente de

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.

Explicação passo-a-passo:

Claro, vou ajudá-lo a resolver essas equações em números complexos (C). Vamos lá:

a) 2x^2 + 98 = 0:

Primeiro, subtraímos 98 de ambos os lados:

2x^2 = -98

Agora, dividimos ambos os lados por 2:

x^2 = -49

Para encontrar x, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que em números complexos, a raiz quadrada de um número negativo resulta em números imaginários):

x = ±√(-49)

x = ±7i

b) 2x^2 - 12x + 26 = 0:

Usando a fórmula quadrática, x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), onde a = 2, b = -12 e c = 26:

x = (12 ± √((-12)^2 - 4 * 2 * 26)) / (2 * 2)

x = (12 ± √(144 - 208)) / 4

x = (12 ± √(-64)) / 4

x = (12 ± 8i) / 4

Simplificando:

x = 3 ± 2i

c) x^2 - 2x + 5 = 0:

Usando a fórmula quadrática novamente:

x = (2 ± √((-2)^2 - 4 * 1 * 5)) / (2 * 1)

x = (2 ± √(4 - 20)) / 2

x = (2 ± √(-16)) / 2

x = (2 ± 4i) / 2

Simplificando:

x = 1 ± 2i

d) x^2 - 2x + 2 = 0:

Mais uma vez, usando a fórmula quadrática:

x = (2 ± √((-2)^2 - 4 * 1 * 2)) / (2 * 1)

x = (2 ± √(4 - 8)) / 2

x = (2 ± √(-4)) / 2

x = (2 ± 2i) / 2

Simplificando:

x = 1 ± i

Portanto, as soluções em números complexos para as equações são:

a) x = ±7i

b) x = 3 ± 2i

c) x = 1 ± 2i

d) x = 1 ± i