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Usando regras de operações com radicais e potências, obtém-se os seguintes valores do conjunto dos números Reais :

a) 4          b) 4          c) - 2          d) - 3

Nota 1

Para a resolução destes exercícios tem de se levar em consideração que aqui:

• " todas as expressões são definidas no conjunto dos números reais".

a)

[tex]8^{\dfrac{2}{3} } \\~\\=(2^3)^{\dfrac{2}{3} } \\~\\=2^{3~\cdot \dfrac{2}{3} }[/tex]

Cálculo auxiliar

[tex]3\cdot \dfrac{2}{3} =\dfrac{3}{1}\cdot\dfrac{2}{3} =\dfrac{3\cdot2}{1\cdot3} =\dfrac{6}{3} =2[/tex]

Fim de cálculo auxiliar

[tex]2^{(3~\cdot \dfrac{2}{3}) }\\~\\=2^2\\~\\=4[/tex]

Nota 2

Potência de potência

Mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Exemplo:

[tex](5^3)^2=5^{3\cdot 2} =5^6[/tex]

b)

Neste exercício há duas possibilidades de resposta, conforme seja interpretada a expressão

Primeira possibilidade

[tex]\sqrt{(-4)^2} \\~\\=\sqrt{16} \\~\\=4[/tex]

Esta é muito provavelmente é a mais adequada aqui.

Segunda possibilidade

[tex](\sqrt[2]{-4} )^2\\\\~=-~4\\[/tex]

Nota 3

Radical elevado a um número

• se o índice do radical for igual ao expoente, desse mesmo radical

• o resultado é apenas a base do radicando

• porque radiciação e potenciação são operações inversas, logo cancelam-se quando usadas simultaneamente

Nota 4

Elementos de um radical

Exemplo:

[tex]\sqrt[3]{7^2}[/tex]

3 → índice do radical

[tex]7^2[/tex] → radicando

7 → base do radicando

2 → expoente do radicando

√ → símbolo de radical

c)

[tex]\sqrt[3]{-8}[/tex]

• no conjunto dos números Reais

• radicais de índice par não admitem radicandos negativos

Exemplo

[tex]\sqrt[6]{-200}[/tex]

→ Impossível em R.

→ Possível nos números complexos

→ Neste exercício está-se apenas em |R

• radicandos de índice ímpar , admitem radicandos negativos

[tex]\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{(-2)\cdot (-2)\cdot(-2)}\\~\\=\sqrt[3]{(-2)^3}\\\\ ~=-~2[/tex]

d)

[tex]-\sqrt[4]{81} \\~\\=-\sqrt[4]{9\cdot9} \\~\\=-\sqrt[4]{3\cdot3\cdot3\cdot3}\\ ~\\=-\sqrt[4]{3^4} \\~\\=-3[/tex]

Nota 5

Adição de radicais

• quando se adiciona (ou subtrai) radicais eles necessitam ter o mesmo índice
• adicionam-se ou subtraem-se os índices e mantém-se o radical

Exemplo:

[tex]3\sqrt[5]{12}+8 \sqrt[5]{12}\\~\\=(3+8)\cdot\sqrt[5]{12}\\~\\=11\cdot \sqrt[5]{12}[/tex]

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Bons estudos.

Att     Duarte Morgado  

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[tex](\cdot)[/tex]  multiplicação      ( |R ) conjunto dos números reais

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.