maudmarine

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Bonsoir,

1er exercice :

Marc et Sophie se lancent des défis mathématiques. C’est au tour de Marc, il propose un programme de calcul à sa camarade 

1- Tester ce programme de calcul en choisissant comme nombre de départ 3
Choisir un nombre entier positif 
3
Élever ce nombre au carré 
3² = 9
Ajouter 3 au résultat obtenu 
9 + 3 = 12
Puis, multiplier par 2 le résultat obtenu 
12 x 2 = 24
Soustraire 6 au résultat précédent 
24 - 6 = 18
Enfin, prendre la moitié du dernier résultat 
18 : 2 = 9
Écrire le résultat final 
9

Tester ce programme de calcul en choisissant comme nombre de départ 10
Choisir un nombre entier positif 
10
Élever ce nombre au carré 
10² = 100
Ajouter 3 au résultat obtenu 
100 + 3 = 103
Puis, multiplier par 2 le résultat obtenu 
103 x 2 = 206
Soustraire 6 au résultat précédent 
206 - 6 = 200
Enfin, prendre la moitié du dernier résultat 
200 : 2 = 100
Écrire le résultat final 
100

Marc prétend être capable de trouver rapidement le nombre de départ en connaissant le résultat final. Sophie choisit alors au hasard un nombre et applique le programme de calcul. Elle annonce à Marc le résultat final 81. Celui-ci lui répond qu’elle avait choisi le nombre 9 au départ. Stupéfaite, Sophie lui dit : « TU ES UN MAGICIEN! »

a) Vérifier le calcul en commençant le programme avec le nombre 9
Choisir un nombre entier positif 
9
Élever ce nombre au carré 
9² = 81
Ajouter 3 au résultat obtenu 
81 + 3 = 84
Puis, multiplier par 2 le résultat obtenu 
84 x 2 = 168
Soustraire 6 au résultat précédent 
168 - 6 = 162
Enfin, prendre la moitié du dernier résultat 
162 : 2 = 81
Écrire le résultat final 
81

b) Et si le résultat du programme était 36, pourriez-vous dire le nombre choisi par Sophie ?
Le nombre choisi par Sophie serait alors 6, car le résultat obtenu est le carré du nombre choisi au départ

3) A votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au nombre final ? Le nombre obtenu en fin de programme est le carré du nombre positif choisi au départ.
A mon avis, il suffit de prendre la racine carrée du nombre final pour trouver le nombre choisi au départ

Choisir un nombre entier positif 
x
Élever ce nombre au carré 
x²
Ajouter 3 au résultat obtenu 
x² + 3
Puis, multiplier par 2 le résultat obtenu
(x² + 3) * 2 = 2x² + 6 
Soustraire 6 au résultat précédent
2x² + 6 - 6 = 2x² 
Enfin, prendre la moitié du dernier résultat 
2x²/2 = x²
Écrire le résultat final 
x²

2eme exercice :

1) Calculer le PGCD de 1755 et 1053. Justifier votre réponse
Selon la méthode d'Euclide :
1755 : 1053 = 1 x 1053 + 702
1053 : 702 = 1 x 702 + 351
Le PGCD est égal au dernier reste non nul : 351

2) Ecrire la fraction 1053/1755 sous la forme irréductible
1053/1755 = 351 x 3 / 351 x 5 = 3/5

3) Un collectionneur de coquillages ( un conchyliologue) possède 1755 cônes et 1053 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c'est-à-dire comportant le même nombre de coquillages et la même répartition de cônes et de porcelaines.
a) Quel est le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser ?
D'après le PGCD (1755 ; 1053) le collectionneur pourra réaliser au maximum 351 lots

b) Combien y aura-t-il, dans ce cas, de cônes et de porcelaines par lot ?
1755 = 351 x 5
Dans chacun des 351 lots, il y aura 5 cônes

1053 = 351 x 3
Dans chacun des 351 lots, il y aura 3 porcelaines