Le cercle de centre O et passant par le point B est l'ensemble des points M du plan tel que : OM = OB = BD/2 = 6/2 = 3 .
On a : OA = AC/2 = 4/2 = 2 ≠ 3 ;
donc le point A n'est pas un point du cercle de centre O et passant par le point B .
Exercice n° 4 .
Premier cas : "n" est pair . On a : "n" est pair , donc il existe k un nombre entier naturel tel que : n = 2k ; donc : n + 1 = 2k + 1 ; donc : n(n + 1) = 2k(2k + 1) = 2(k(2k + 1)) ; et comme k(2k + 1) est un produit de nombres entiers naturels donc k(2k + 1) est un nombre entier naturel ; donc : n(n + 1) = 2(k(2k + 1)) est un nombre entier naturel pair .
Deuxième cas : "n" est impair . On a : "n" est impair , donc il existe k un nombre entier naturel tel que : n = 2k + 1 ; donc : n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1) ; donc : n(n + 1) = 2(2k + 1)(k + 1) = 2((2k + 1)(k + 1)) ; et comme (2k + 1)(k + 1) est un produit de nombres entiers naturels donc 2((2k + 1)(k + 1)) est un nombre entier naturel ; donc : n(n + 1) = 2((2k + 1)(k + 1)) est un nombre entier naturel pair .
Conclusion : quel que soit le nombre entier naturel "n" , n(n + 1) est un nombre entier naturel .
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Exercice n° 3 .
Le cercle de centre O et passant par le point B est l'ensemble
des points M du plan tel que : OM = OB = BD/2 = 6/2 = 3 .
On a : OA = AC/2 = 4/2 = 2 ≠ 3 ;
donc le point A n'est pas un point du cercle de centre O
et passant par le point B .
Exercice n° 4 .
Premier cas : "n" est pair .
On a : "n" est pair , donc il existe k un nombre entier naturel
tel que : n = 2k ;
donc : n + 1 = 2k + 1 ;
donc : n(n + 1) = 2k(2k + 1) = 2(k(2k + 1)) ;
et comme k(2k + 1) est un produit de nombres entiers naturels
donc k(2k + 1) est un nombre entier naturel ;
donc : n(n + 1) = 2(k(2k + 1)) est un nombre entier naturel pair .
Deuxième cas : "n" est impair .
On a : "n" est impair , donc il existe k un nombre entier naturel
tel que : n = 2k + 1 ;
donc : n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1) ;
donc : n(n + 1) = 2(2k + 1)(k + 1) = 2((2k + 1)(k + 1)) ;
et comme (2k + 1)(k + 1) est un produit de nombres entiers naturels
donc 2((2k + 1)(k + 1)) est un nombre entier naturel ;
donc : n(n + 1) = 2((2k + 1)(k + 1)) est un nombre entier naturel pair .
Conclusion :
quel que soit le nombre entier naturel "n" , n(n + 1) est
un nombre entier naturel .