Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

1)

a)

3=4(0)+3

5=4(1)+1

7=4(1)+3

9=4(2)+1

11=4(2)+3

17=4(4)+1

19=4(4)+3

b) division euclidienne

D dividende

d diviseur

q quotient

r reste

D=(d x q)+r

avec r<d

forme 4n

donc d=4

donc r=0

r=1

r=2

r=3

nombre = 4n

nombre=4n+1

nombre=4n+2

nombre=4n+3

c) nombre premier supérieur à3

nombre premier supérieur à 3 est impair

4n est pair

nombre premier =4n+x

4n+x est impair si x est impair

d'où

4n+1

4n+3

d)

1)

4n+1  non premier

alors

le nombre peut s'écrire sous forme d'un produit de facteurs

4n+1=y( 4n+1/y)

4n+1= y(4n/y +1/y)

1 est un nombre qui n'est divisible que par lui même

donc y=1

4n+1=1(4n+1)

d'où

4n+1 divisible par 1 et lui même

donc 4n+1 est premier

2) 4n+3 no premier

donc 4n+3 peut s'écrire sous la forme d'un produit de facteurs

4n+3=y( (4n+3)/y)

4n+3=y( 4n/y)(3/y)

3 nombre premier divisible par 1 et 3

y=1

4n+3=1(4n+3)

y=3

4n+3= 3(4n/3+3/3)

4n+3= 3(4n/3+1)

il faut que 4n/3  soit un entier

donc 4n multiple de 3

n multiple de 3/4

4(3/4)/3=12/12=1

si 4n multiple de 3

4n+3 n'est pas premier

2)

a)

nombre premier >5 est impair

6n est pair

pour avoir un nombre impaire

il faut 6n + impair

6n+1

6n+3

6n+5

sauf

6n+3 =3( 2n+1)

6n+3=2(3n+1) n'est pas premier

6n+1 et 6n+5 premiers

b) 6n+1 pas premier donc il s'écrit sous un produit de facteurs

6n+1=y(6n+1)/y

6n+1= y)6n/y)(1/y)

1 n'est divisible que par lui

donc y=1

6n+1=1(6n+1)

divisible par 1 et lui même

6n+1 est premier

c) 6n+5 pas premiezr

6n+5=y(6n+5)/y

6n+5=y(6n/y)(5/y)

5 divisible par 1 et lui

y=1

6n+5= 1(6n+5)

6n+5 premier

y=5

6n+5)=5(6n/5) (1)

6n doit être un multiple de 5

si 6n multiple de 5

6n+5 n'est pas premier