Salut, je suis un élève qui à des difficultés en maths. je dois rendre cette exercice dans 1 heureset je n'y arrive pas cela fait bientôt 3 heures que je suis dessus et je n'y arrive pas si vous pouviez m'aidez se serait un miracle merci d'avance.
.Exercice 3 :
Soit la fonction g définie sur R par g(x) = 2 cos(-2x).
1. Etudier la parité de g
2. Montrer que g est T-périodique
3. Dresser un tableau de variation de g
.Exercice 3 :
Soit la fonction g définie sur R par g(x) = 2 cos(-2x).
1. Etudier la parité de g
2. Montrer que g est T-périodique
3. Dresser un tableau de variation de g
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Réponse :
Bonjour
1) Calculons g(-x)
g(-x) = 2cos(-2(-x)) = 2cos(2x) = 2cos(-2x) = g(x)
(cos(2x) = cos(-2x) car la fonction cos est paire)
On a donc g(-x) = g(x) , la fonction g est donc paire
2) Calculons g(x + π)
g(x + π) = 2cos(-2(x + π) = 2cos(-2x - 2π) = 2cos(-2x) = g(x)
(cos(-2x - 2π) = cos(-2x) car la fonction cos est 2π périodique)
On a donc g(x + π) = g(x) , la fonction g est π périodique
3) Comme la fonction est paire , et π périodique , on dressera le tableau de variations sur l'intervalle [0 ; π] , ces variations se répétant ensuite de la même manière sur R
g'(x) = 2 × (-2) × (-sin(-2x) = -4 sin(2x)
(-sin(-2x) = sin(2x) car la fonction sin est impaire, donc sin(-2x) = -sin(2x) et par conséquent, -sin(-2x) = sin(2x))
Etudions le signe de g'(x)
-4sin(2x) ≥ 0 ⇔ sin(2x) ≤ 0
⇔ π ≤ 2x ≤ 2π (à voir sur un cercle trigonométrique)
⇔ π/2 ≤ x ≤ π
On a donc g'(x) ≤ 0 sur [0 ; π/2] et g'(x) ≥ 0 sur [π/2 ; π]
La fonction g est donc décroissante sur [0 ; π/2] , et croissante sur [π/2 ; π]
Tu complèteras le tableau de variations avec les valeurs :
g(0) = 2cos(0) = 2
g(π/2) = 2cos(-π) = 2 × (-1) = -2
g(π) = 2cos(-2π) = 2 × 1 = 2