Bonsoir,

f(x) = 2x / (x-1)            sur R - { 1 }    de la forme de u/v

1)

f ' (x) = (u'v - uv')/v²

f'(x) = ( 2(x - 1) - 2x(1))/(x-1)²

f ' (x) = -2 / (x - 1)²

2)

f ' (2) = -2    et f(2) = 4

3)

Equation tangente au point d'abscisse 2 :

y = f ' (2)(x - 2) + f(2)

y = -2x + 8

4)

A (4 ; 0)  appartient à la droite T1  puisque  

-2(4) + 8 = 0

5a)   équation tangente à la courbe au point d'abscisse "a"

y = f ' (a)(x - a) + f(a)

b)

si passe par A :

y = (-2/(a - 1)²)( 4 - a) + 2a/ (a-1) = 0   en développant

y = (-8 + 2a) / (a - 1)² +  2a / (a - 1) = 0

c)

(-8 + 2a) / (a - 1)² + 2a / (a - 1) = 0

( -8 + 2a + 2a(a - 1) ) / (a - 1)² = 0 en mettant au même dénominateur

(-8 + 2a + 2a² - 2a ) / (a - 1)²  = 0

(2a² - 8 ) / ( a - 1)² = 0  

2a² - 8 = 0

a² = 8 / 2

a = 2     ou a = -2

d)  

La droite passera par le point d'abscisse( -2 ) et comme

f (-2) = 4/3  alors elle passera par le point  (-2 ; 4/3)

Bonus :

équation de  T2   :  y = f '(-2)(x + 2) + f(-2) = (-2/9)x + (8/9)

Bonne soirée