Resposta:

Quando é pedido  f(g(x)), quer dizer que na função f, onde a incógnita x aparece, devemos substituir pela função g, observe:[tex]f(g(x))=2(x^2-1)^2-8\\ f(g(x))=2(x^4-2x^2+1)-8\\ f(g(x))=2x^4-4x^2+2-8\\ f(g(x))=2x^4-4x^2-6[/tex]

Agora, vamos reescreve-la desta forma:

[tex]f(g(x)) =2(x^2)^2-4x^2-6[/tex]

Tendo reescrito, iremos considerar que x² = y, acompanhe:

[tex]f(g(x)) =2y^2-4y-6[/tex]

Agora, resolveremos isso utilizando Bhaskara:

[tex]y=\frac{-(-4)+-\sqrt{(-4)^2-4*2*(-6)} }{2*2} \\\\y=\frac{4+-\sqrt{16+48} }{4} \\\\y=\frac{4+-\sqrt{64} }{4} \\\\y=\frac{4+-8}{4} \\\\y'=\frac{4+8}{4} \\\\y'=3\\\\y''=\frac{4-8}{4} \\\\y''=-1[/tex]

Agora temos que y'=3 e y''=-1

Para encontrar as raízes da equação [tex]f(g(x))=2x^4-4x^2-6[/tex], devemos substituir os valores de y' e y'' em x²=y. Veja

Para y'=3 temos:

[tex]x^2=3\\x'=\sqrt{3} \\x''=-\sqrt{3}[/tex]

e para y'' = -1 temos:

[tex]x^2=-1\\x=\sqrt{-1}[/tex] ---->> este não é um número real, ele é imaginário, e a questão solicitou somente números reais.

Então, temos a raízes x' e x''.

Calculando a diferença entre o maior e o menor valor:

[tex]\sqrt{3} -(-\sqrt{3} )\\\sqrt{3}+\sqrt{3}\\2\sqrt{3}[/tex]

Então, anternativa D