Seja f abre parênteses x fecha parêntesesuma função derivável. Sabendo que f parêntese esquerdo 1 parêntese direito igual a 1 texto e fim do texto f à potência de reto primo parêntese esquerdo x parêntese direito igual a 1 mais ln aplicação de função invisível parêntese esquerdo x parêntese direito, é correto afirmar que:
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⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Técnicas de Integração, concluímos que a função procurada está corretamente descrita na alternativa b
Sabendo que [tex]\int f'(x)dx=f(x)+c[/tex] , então, na sua questão, temos:
[tex]\begin{array}{l}\displaystyle f( x) =\int f'( x) dx\\\\\displaystyle=\int 1+\ln x\ dx\\\\\displaystyle =\int 1\ dx\ +\int \ln x\ dx\end{array}[/tex]
➜ O resultado da primeira integral é [tex]x[/tex] . Para a segunda integral, utilizaremos a técnica da integração por partes, a saber:
[tex]\boxed{ \int udv=uv-\int vdu}[/tex]
➜ Reescrevendo [tex]\int \ln xdx[/tex] como [tex]\int 1\cdot \ln x dx[/tex] , faremos as seguintes substituições:
[tex]\begin{cases}u=\ln x\\dv=1dx\\du=\frac{1}{x} dx\\\displaystyle \int dv=\int 1dx\Longrightarrow v=x\end{cases}[/tex]
Portanto,
[tex]\begin{array}{l}\displaystyle\int 1\ln xdx=\ln x\cdotp x-\int x\cdotp \frac{1}{x} dx\\\\=x\ln x-x\end{array}[/tex]
➜ E assim, [tex]f(x)=x+x\ln x -x=x\ln x[/tex]
➜ Adicionando a constante de integração,
[tex]f(x)=x\ln x+c[/tex]
➜ Do enunciado, [tex]f(1)=1[/tex] , i.e., [tex]1 \cdot \ln 1+c=1\Rightarrow c=1[/tex]
∴ [tex]f(x)=x \ln x+1[/tex] ✍️
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