Seja f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 1 menos 2 x ao quadrado fim da raiz fim da fração vírgula x pertence abre colchetes menos numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração vírgula numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração fecha colchetes. Determine a integral indefinida de f parêntese esquerdo x parêntese direito.
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⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Técnicas de Integração, concluímos que a integral indefinida da função dada está corretamente descrita na alternativa a
♦︎ Desejamos calcular a seguinte integral indefinida:
[tex]\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-2x^{2}}} dx[/tex]
♦︎ Há uma integral tabelada que é
[tex]\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} -u^{2}}} du=\arcsin\left(\frac{u}{a}\right)+c[/tex]
➜ Na sua questão, note que [tex]a=1[/tex] , [tex]2x^2=u^2[/tex] , i.e., [tex]x\sqrt2=u[/tex] , e [tex]du=dx\sqrt2[/tex] .
➜ Substituindo na nossa integral:
[tex]\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} -2x^{2}}} dx=\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{du}{\sqrt{2}}[/tex]
➜ Usando a propriedade [tex]\displaystyle \int kf( x) dx=k\int f( x) dx[/tex] ,
[tex]\begin{array}{l}\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{du}{\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} du\\\\\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin\left(u\right) +c\end{array}[/tex]
➜ Devolvendo a substituição,
[tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin( u) +c=\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin\left( x\sqrt{2}\right) +c[/tex]
∴ Se [tex]\displaystyle f( x) =\frac{1}{\sqrt{1-2x^{2}}}[/tex] , então [tex]\displaystyle \int f( x) dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin\left( x\sqrt{2}\right) +c[/tex] , o que consta na alternativa a___✍️
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