Resposta:

resposta: A

Explicação passo a passo:

confirmado no gabarito

Com base nos estudos de integração temos como resposta letra e)

Integração

Uma função F satisfazendo a condição F'(x) = f(x) é chamada primitiva de f, ou ainda, integral indefinida de f. Se F é uma primitiva de f, então F(x)+c, em que c é uma constante, também é. De um modo geral, representamos uma primitiva genérica de f por ∫f(x)dx.

Propriedades

Como consequência de propriedades conhecidas para as derivadas, temos ainda

• ∫[f(x)+g(x)]dx =  ∫f(x)dx +  ∫g(x)dx
• ∫[k.f(x)]dx = k. ∫f(x)dx, k ≠ 0

Vamos aplicar as propriedades no exercício

∫xln(x) + x(ln(x))²dx = ∫xln(x)dx + x(ln(x))²dx

1. ∫xln(x)dx

• u = ln(x) ⇒ du = [tex]\frac{1}{x}dx[/tex]
• dv = xdx ⇒ v = [tex]\frac{x^2}{2}[/tex]

Assim, ∫xln(x)dx = ln(x).x²/2 - ∫[tex]\frac{x^2}{2} .\frac{1}{x}[/tex][tex]dx[/tex] = [tex]\frac{x^2}2}ln(x)-\frac{1}{2}[/tex]∫xdx = [tex]\frac{x^2}{2} (ln(x)-\frac{1}{2})[/tex]

2. ∫x(ln(x))²dx

• u = (ln(x))² ⇒ [tex]\frac{2ln(x)}{x} dx[/tex]
• dv = xdx ⇒ [tex]v=\frac{x^2}{2}[/tex]

∫x(ln(x))²dx = (ln(x))².x²/2 - ∫(x²/2).2ln(x).(1/x)dx = (ln(x))².x²/2 - ∫xln(x)dx = (ln(x))².x²/2 - x²/2.(ln(x) - 1/2) =

= [tex]\frac{x^2.(ln(x))^2}{2} -\frac{x^2}{2} .(ln(x)-\frac{1}{2})=\frac{x^2.(ln(x))^2}{2}-\frac{x^2ln(x)}{2}-\frac{x^2}{4}[/tex] = [tex]\frac{x^2(2(ln(x))^2-ln(x)-1)}{4} =\frac{x^2(2(ln(x)-1)}{4}[/tex]

Saiba mais sobre integração: https://brainly.com.br/tarefa/52065811

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