Podemos fazer a integração por substituição dessa integral. Se considerarmos [tex]u = g(x)[/tex], então sua derivada será [tex]du = g'(x)[/tex]. Isso nos permite reescrever a integral do produto:

[tex]\int{g(x)\cdot g'(x)\ dx} = \int{u\ du}[/tex]

Essa integral é bem fácil de resolver. Basta fazer a regra do tombamento reversa:

[tex]\int u\ du = \frac{u}{2}^2 + C = \frac{g(x)^2}{2} + C[/tex]

Logo, a resposta correta é a letra a.

Usando a técnica de substituição, temos que a resposta da integral é:

[tex]\displaystyle \int g(x)[g'(x)] dx = \frac{1}{2}[g(x)]^2 + C[/tex]

Substituição Simples

É uma técnica de integração usada para simplificar expressões que envolvem funções compostas. Ela é baseada na regra da cadeia da diferenciação, que diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função externa pela derivada da função interna.

Podemos utilizar a técnica de integração por substituição para resolver essa integral. Fazendo a substituição u = g(x), temos que du/dx = g'(x) e, portanto, dx = du/g'(x). Substituindo na integral, temos:

[tex]\displaystyle\int g(x)[g'(x)] dx = \int u du[/tex]

Integrando a expressão acima, obtemos:

[tex]\displaystyle\int g(x)[g'(x)] dx = \frac{1}{2}u^2 + C[/tex]

Substituindo u = g(x), temos:

[tex]\displaystyle \int g(x)[g'(x)] dx = \frac{1}{2}[g(x)]^2 + C[/tex]

Saiba mais sobre Integral por Substituição: https://brainly.com.br/tarefa/51159034
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