Resposta:

A diferença entre o numerador e o denominador da sua representação fracionária é: a) 123

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Para representar a fração geratriz de uma dízima, gosto de verificar se é possível desmembrá-la numa soma entre uma parte inteira e uma parte decimal:

\tt x=1,\!123123...x=1,123123...

\tt x=1+\underbrace{\tt 0,\!123123...}_{\tt y}~\sf(i)x=1+y0,123123... (i)

Como foi possível, atribuí ''y'' à essa outra dízima, de modo que y = 0,123123... (ii). A fim de ''trazer'' os três algarismos que se repetem para a parte inteira, estarei multiplicando (ii) por 1000:

\tt 1000\cdot y=1000\cdot0,\!123123...1000⋅y=1000⋅0,123123...

\tt 1000y=123,\!123123...~\sf(iii)1000y=123,123123... (iii)

Daí, calculando a diferença (iii) – (ii) membro a membro, obtemos:

\tt 1000y-y=123,\!123123...-0,\!123123...1000y−y=123,123123...−0,123123...

\tt999y=123999y=123

\tt y=\dfrac{123}{999}y=999123

Assim, voltando na equação (i), encontramos:

\tt x=1+yx=1+y

\tt x=1+\dfrac{123}{999}x=1+999123

\tt x=\dfrac{1\cdot999+123}{999}x=9991⋅999+123

\tt x=\dfrac{1122}{999}x=9991122

PORTANTO, a diferença entre o numerador e o denominador dessa fração é 1122 – 999 = 123 ⇒ alternativa a).

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