Salut !

On rappelle que :

[tex]\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A\\ \\ \end{pmatrix}$[/tex]

Pour tout i milieu de [AB]

[tex]I(\frac{x_A+x_B}{2}\, ;\, \frac{y_A+y_B}{2})[/tex]

[tex]AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}[/tex]

1. Fais un schéma dans un repère et place les points

2.

[tex]\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2-(-3) \\ 1 \\ \end{pmatrix}$ \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$\\\\\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 4-(-3) \\ 3 \\ \end{pmatrix}$ \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ \end{pmatrix}$\\\\\overrightarrow{BD} \begin{pmatrix} -1-2 \\ 2-1 \\ \end{pmatrix}$ \begin{pmatrix} -3 \\ 1\\ \end{pmatrix}$[/tex]

3. Soit I milieu de [AC] et J milieu de [BD]

[tex]I(\frac{-3+4}{2}\, ;\, \frac{3}{2})(\frac{1}{2}\, ;\, \frac{3}{2})\\\\J(\frac{2-1}{2}\, ;\, \frac{1+2}{2})(\frac{1}{2}\, ;\, \frac{3}{2})[/tex]

Donc J = I, ils ont le même milieu

4.

[tex]OB=\sqrt{(0-2)^2+(0-1)^2)}=\sqrt 5\\OD=\sqrt{[0-(-1)]^2+(0-2)^2}=\sqrt{5}\\BD=\sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{10}\ne\sqrt{5}[/tex]

Donc il est isocèle

Pour prouver qu'il est rectangle, nous pouvons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore qui dit que OBD est rectangle [tex]\iff A^2+B^2=C^2[/tex]

[tex]A^2+B^2=\sqrt5^2+\sqrt5^2 =10\\C^2=\sqrt10^2=10\\Donc\, A^2+B^2=C^2[/tex]

5.

Soit E(x ; y)

[tex]\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{OD}\\\Leftrightarrow\left \{ {{x-2\, =-1} \atop {y-1=2}} \right. \\\Leftrightarrow x=1\, y=3[/tex]