Réponse:

1. On pose F = <v₁, v₂, v₃, v₄>. Pour déterminer une base B de F, nous allons d'abord mettre ces vecteurs sous forme matricielle et les réduire en forme échelonnée :

[v₁ | v₂ | v₃ | v₄] = [[1, 1, 2, 2, 1] | [1, 2, -3, -2, -1] | [2, 3, 1, 5, -1] | [-2, -5, 19, 18, 2]]

Réduisons cette matrice en forme échelonnée :

[1, 1, 2, 2, 1]

[1, 2, -3, -2, -1]

[2, 3, 1, 5, -1]

[-2, -5, 19, 18, 2]

- L2 ← L2 - L1

- L3 ← L3 - 2L1

- L4 ← L4 + 2L1

[1, 1, 2, 2, 1]

[0, 1, -5, -4, -2]

[0, 1, -3, 1, -3]

[0, -3, 23, 22, 4]

- L3 ← L3 - L2

- L4 ← L4 + 3L2

[1, 1, 2, 2, 1]

[0, 1, -5, -4, -2]

[0, 0, 2, 5, -1]

[0, 0, 4, 10, 10]

- L4 ← L4 - 2L3

[1, 1, 2, 2, 1]

[0, 1, -5, -4, -2]

[0, 0, 2, 5, -1]

[0, 0, 0, 0, 8]

Maintenant, nous observons que la 4e colonne est une colonne de zéros. Ainsi, le rang des vecteurs est inférieur à 4.

Cela signifie que l'ensemble {v₁, v₂, v₃, v₄} n'est pas une base de F.

Pour trouver une base de F, nous pouvons prendre les vecteurs linéairement indépendants dans la matrice réduite :

[1, 1, 2, 2, 1]

[0, 1, -5, -4, -2]

[0, 0, 2, 5, -1]

La base B de F est donc { [1, 1, 2, 2, 1], [0, 1, -5, -4, -2], [0, 0, 2, 5, -1] }.

2. Pour déterminer les réels a et b tels que v = (3, 2, 1, a, b) ∈ F, nous devons vérifier si v peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base B.

Ecrivons v comme une combinaison linéaire de B :

(3, 2, 1, a, b) = α₁[1, 1, 2, 2, 1] + α₂[0, 1, -5, -4, -2] + α₃[0, 0, 2, 5, -1]

où α₁, α₂, α₃ sont des scalaires inconnus.

Écrivons cela comme un système d'équations :

3 = α₁ + 0 + 0

2 = α₁ + α₂ + 0

1 = 2α₁ - 5α₂ + 2α₃

a = 2α₁ - 4α₂ + 5α₃

b = α₁ - 2α₂ - α₃

α₁ = 3 , α₂ = -1 , α₃= -5 donc a= -15, b= 10