Réponse :

Pour montrer que la relation binaire R est une relation d'équivalence, nous devons vérifier trois propriétés Réflexivité :

Pour tout élément a de E (avec a ≤ 23), nous devons montrer que aRa est vrai :

a³ - a³ = 0, qui est un multiple de 6 (0 = 6 * 0). Donc, la réflexivité est satisfaite.

Symétrie :

Si aRb est vrai, cela signifie que a³ - b³ est un multiple de 6. Nous devons montrer que bRa est également vrai.

b³ - a³ = -(a³ - b³), qui est également un multiple de 6 car il est le produit de (-1) et (a³ - b³). Donc, la symétrie est satisfaite.

Transitivité :

Si aRb et bRc sont vrais, cela signifie que a³ - b³ et b³ - c³ sont tous deux des multiples de 6. Nous devons montrer que aRc est également vrai.

a³ - c³ = (a³ - b³) + (b³ - c³), qui est la somme de deux multiples de 6, donc elle aussi est un multiple de 6. Ainsi, la transitivité est satisfaite.

Puisque la relation R satisfait les trois propriétés (réflexivité, symétrie et transitivité), nous pouvons conclure que R est une relation d'équivalence sur l'ensemble E = {n ∈ N : n ≤ 23}.

Maintenant, pour déterminer les classes d'équivalence de 0 et de 1, nous devons trouver tous les éléments de E qui sont en relation avec 0 et 1 respectivement :Classe d'équivalence de 0 :

Les éléments en relation avec 0 sont ceux pour lesquels 0³ - n³ est un multiple de 6.

0³ - n³ = -n³, donc n³ doit être un multiple de 6. Cela signifie que n doit être un multiple de 6 également.

Les multiples de 6 dans E = {n ∈ N : n ≤ 23} sont : 0, 6, 12, 18.

Donc, la classe d'équivalence de 0 est [0] = {0, 6, 12, 18}.

Classe d'équivalence de 1 :

Les éléments en relation avec 1 sont ceux pour lesquels 1³ - n³ est un multiple de 6.

1³ - n³ = -(n³ - 1), donc n³ - 1 doit être un multiple de 6.

Cela signifie que n³ doit être de la forme 6k + 1, où k est un entier.

Les cubes de nombres qui satisfont cette condition dans E = {n ∈ N : n ≤ 23} sont : 1, 7, 19.

Donc, la classe d'équivalence de 1 est [1] = {1, 7, 19}.

Enfin, pour déterminer toutes les classes d'équivalence de R, nous devons regrouper les éléments de E en fonction de leur relation avec d'autres éléments dans E.

Les classes d'équivalence seront :

[0] = {0, 6, 12, 18}

[1] = {1, 7, 19}

[2] = {2, 8, 20}

[3] = {3, 9, 21}

[4] = {4, 10, 22}

[5] = {5, 11, 23}

[6] = {6, 12, 18}

[7] = {7, 19}

[8] = {8, 20}

[9] = {9, 21}

[10] = {10, 22}

[11] = {11, 23}

[12] = {12, 18}

[13] = {13}

[14] = {14}

[15] = {15}

[16] = {16}

[17] = {17}

[21] = {21}

[22] = {22}

[23] = {23}

Chaque classe d'équivalence contient des éléments de E ayant la même propriété de relation par la relation R.