([tex]W_n[/tex]) est une suite géométrique de raison [tex]\frac{5}{12}[/tex] car on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même nombre [tex]\frac{5}{12}[/tex]. Il ne reste plus qu'a trouver [tex]W_{0}[/tex].
[tex]W_0=V_0-U_0=10-2=8[/tex]
La suite ([tex]W_n[/tex]) peut donc s'écrire de cette manière:[tex]W_n=W_0*q^n < = > W_n=8(\frac{5}{12})^n[/tex]
2)a)Pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on peut chercher le signe de [tex]U_{n+1}-U_n[/tex].
[tex]8(\frac{5}{12})^n[/tex]est toujours positif donc [tex]\frac{8(\frac{5}{12})^n}{3}[/tex] est aussi toujours positif, [tex]U_{n+1}-U_n \geq 0[/tex], ([tex]U_n[/tex]) est une suite croissante.
[tex]U_n-V_n[/tex] est négatif donc le signe de [tex]\frac{U_{n}-V_{n}}{4}[/tex] est aussi négatif
[tex]\frac{U_{n}-V_{n}}{4}\leq 0 < = > V_{n+1}-V_n \leq 0[/tex], la suite ([tex]V_n[/tex]) est décroissante
b) on a montré que [tex]V_n-U_n\geq 0[/tex] avec [tex]V_0=10[/tex] et [tex]U_0=2[/tex],
([tex]V_n[/tex]) est une suite décroissante et ([tex]U_n[/tex]) est une suite croissante.
En sachant que [tex]V_n-U_n\geq 0[/tex] et que ([tex]V_n[/tex]) est une suite décroissante, ([tex]U_n[/tex]) ne pourra jamais être plus grand que 10 car sinon [tex]V_n-U_n[/tex] sera négatif ce qui n'est pas le cas.
De même pour ([tex]V_n[/tex]) , en sachant que [tex]V_n-U_n\geq 0[/tex] et que ([tex]U_n[/tex]) est une suite croissante.([tex]V_n[/tex]) ne pourra jamais être plus petit que 2 pour la même raison que précédemment [tex]V_n-U_n[/tex] serait négatif si ([tex]V_n[/tex]) était plus petit que 2.
Je ne suis pas sur si mon explication de la 2)b) est correcte, j'espère quand même avoir pu aider.
Neige6
dite pour la question 1.a c pas un raisonnement par récurrence qu'on devrait faire ?
flomania12
normalement il n'y a pas besoin de faire un raisonnement par récurrence pour la 1)a), ca semble possible mais bien plus compliqué et pour ce qui est de la C et de la 3:(Un) est une suite majorée et croissante donc d'apres le théorème de convergence monotone elle converge, (Vn) est une suite décroissante et minorée donc elle converge aussi. Pour la 3 je sais pas
Neige6
est ce que vous pouvez m'aider pour la dernière question ? la 4.b,à la question 4.a j'ai montré que tn+1-tn=0 mais j'arrive pas a trouver le fait que leur limites communes soit 46/7
Lista de comentários
K W U V
0 pas défini 2 10
1 2 [tex]\frac{14}3[/tex] 8
2 [tex]\frac{14}3[/tex] [tex]\frac{52}9[/tex] [tex]\frac{43}6[/tex]
partie B
1)a)
[tex]V_{n+1}-U_{n+1}=\frac{U_{n}+3V_{n}}{4}-\frac{2U_{n}+V_{n}}{3}=\frac{(U_{n}+3V_{n})*3}{4*3}-\frac{(2U_{n}+V_{n})*4}{3*4}=\frac{3U_{n}+9V_{n}-(8U_{n}+4V_{n})}{12}=\frac{5V_{n}-5U_{n}}{12}=\frac{5(V_{n}-U_{n})}{12}=\frac{5}{12}(V_{n}-U_{n})[/tex]
b)
[tex]W_{n}=V_{n}-U_{n} < = > W_{n+1}=V_{n+1}-U_{n+1} < = > W_{n+1}=\frac{5}{12}(V_{n}-U_{n}) < = > W_{n+1}=\frac{5}{12}W_{n}[/tex]
([tex]W_n[/tex]) est une suite géométrique de raison [tex]\frac{5}{12}[/tex] car on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même nombre [tex]\frac{5}{12}[/tex]. Il ne reste plus qu'a trouver [tex]W_{0}[/tex].
[tex]W_0=V_0-U_0=10-2=8[/tex]
La suite ([tex]W_n[/tex]) peut donc s'écrire de cette manière:[tex]W_n=W_0*q^n < = > W_n=8(\frac{5}{12})^n[/tex]
2)a)Pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on peut chercher le signe de [tex]U_{n+1}-U_n[/tex].
[tex]U_{n+1}-U_n = \frac{2U_{n}+V_{n}}{3}-U_n=\frac{(2U_{n}+V_{n})}{3}-\frac{3U_n}{3}=\frac{V_{n}-U_n}{3}=\frac{8(\frac{5}{12})^n}{3}[/tex]
[tex]8(\frac{5}{12})^n[/tex]est toujours positif donc [tex]\frac{8(\frac{5}{12})^n}{3}[/tex] est aussi toujours positif, [tex]U_{n+1}-U_n \geq 0[/tex], ([tex]U_n[/tex]) est une suite croissante.
[tex]V_{n+1}-V_n=\frac{U_{n}+3V_{n}}{4}-V_n=\frac{U_{n}+3V_{n}}{4}-\frac{4V_n}{4}=\frac{U_{n}-V_{n}}{4}[/tex]
[tex]8(\frac{5}{12})^n \geq 0 < = > V_n-U_n\geq 0 < = > V_n \geq U_n < = > U_n-V_n \leq 0[/tex]
[tex]U_n-V_n[/tex] est négatif donc le signe de [tex]\frac{U_{n}-V_{n}}{4}[/tex] est aussi négatif
[tex]\frac{U_{n}-V_{n}}{4}\leq 0 < = > V_{n+1}-V_n \leq 0[/tex], la suite ([tex]V_n[/tex]) est décroissante
b) on a montré que [tex]V_n-U_n\geq 0[/tex] avec [tex]V_0=10[/tex] et [tex]U_0=2[/tex],
([tex]V_n[/tex]) est une suite décroissante et ([tex]U_n[/tex]) est une suite croissante.
En sachant que [tex]V_n-U_n\geq 0[/tex] et que ([tex]V_n[/tex]) est une suite décroissante, ([tex]U_n[/tex]) ne pourra jamais être plus grand que 10 car sinon [tex]V_n-U_n[/tex] sera négatif ce qui n'est pas le cas.
De même pour ([tex]V_n[/tex]) , en sachant que [tex]V_n-U_n\geq 0[/tex] et que ([tex]U_n[/tex]) est une suite croissante.([tex]V_n[/tex]) ne pourra jamais être plus petit que 2 pour la même raison que précédemment [tex]V_n-U_n[/tex] serait négatif si ([tex]V_n[/tex]) était plus petit que 2.
Je ne suis pas sur si mon explication de la 2)b) est correcte, j'espère quand même avoir pu aider.