laurance Etudier   c'est  ( en principe)  donner le sens de variations et la limite éventuels
les suites  sont  du type
un+1=f(un)
1)f(x)= ( 5+4x)  /( 3+x)     on calculer   f '(x)= 7/  ( 3+x)²   positif   donc  f est croissante
or  f(4) = u1 = 21/7=3     ce qui montre que   u1 < u 0 
la suite sera donc décroissante  ( par récurrence)  car si
un+1  < un
f(un+1) < f(un)  et  un+2  < un+1

d'autre part  il est évident que  un est  positif
on a une suite décroissante et minorée  qui converge d'après un theoreme
sa limite  x vérifie l'équation
f(x)=x
5 +4x = 3x + x² 
x²  -  x  -  5 = 0  qui a deux solutions    ( 1 + rac(21)/2 et ( 1-rac(21) )/2
la limite ne peut pas être négative  c'est donc
( 1 -rac(21)) /2
2) ici la fonction f(x)= 1 /(1+x²)   mais elle est décroissante ; on ne peut pas raisonner de la même façon
si on calcule  v1 = 3      v2 = 0,3    v3 = 2,75   environ  on peut affirmer que la suite est ni croissante ni décroissante et si on regarde  plus de termes ; il n'y a pas de limite : par contre on constate que tous les termes d'indice pairs se rapprochent de
2,62 et ceux d'indice  impair se rapprochent de 0,38