Svp j'ai besoins d'aide : montrer que pour tout n∈N on a √(n²+7n+10)∉N merci d'avance.... Pergunta de ideia deSamiaEl

SamiaEl @SamiaEl

May 2019 1 107 Report

Svp j'ai besoins d'aide :
montrer que pour tout n∈N
on a √(n²+7n+10)∉N
merci d'avance

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scoladan

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Bonjour,

on raisonne par l'absurde :

Supposons que √(n² + 7n + 10) ∈ N

alors il existe p ∈ N tel que √(n² + 7n + 10) = p

et donc : (√(n² + 7n + 10)² = p²

soit : n² + 7n + 10 = p² ⇒ p < n car (7n + 10) > 0

Or : n² + 7n + 10 = p²

⇔ n² - p² = -(7n + 10)

⇒ n² - p² < 0 car (7n + 10) > 0

⇔ (n + p)(n - p) < 0

n et p ∈ N ⇒ (n + p) ≥ 0

donc il faudrait : (n - p) < 0

⇔ n < p

⇒ impossible car n > p

Donc pour tout n ∈ N, il n'existe aucun entier p tel que (n² + 7n + 10) = p²

ce qui implque que √(n² + 7n + 10) ∉ N

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SamiaEl une petite question pourquoi

SamiaEl p0 j'ai pas compris

SamiaEl pourquoi p

SamiaEl et plus petit que n

scoladan t'as raison, y'a un bug ;) je réfléchis un peu et je reviens...

scoladan tu as vu la résolution des équations du 2nd degré avec le calcul de delta ?

SamiaEl oui n1=-2 et n2=-5

scoladan on va faire autrement : n^2 + 7n + 10 = p^2 <=> n^2 + 7n + (10 - p^2) = 0. Delta = 49 - 4(10 - p^2) = 9 - p^2 = (3 - p)(3 + p). Pour que l'équation ait des solutions, il faudrait delta > ou = à 0. Soit (3 - p)(3 + p) >= 0. Et donc (3 - p) >= 0 car (3 + p) est positif. Donc au final il faudrait p < ou = à 3. Soit p = 1 ou 2 ou 3.

scoladan On arrive alors à : n^2 + 7n + 10 = 1 ou 4 ou 9. Ce qui donne 3 équations et on montre qu'elle n'ont pas de solution dans N (tu trouveras que toutes les solutions sont < 0). Donc l'hypothèse était fausse. Donc racine de (n^2 + 7n + 10) n'appartient pas à N

SamiaEl ok merci bcp

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