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1) si p est non pair (impair) alors p=2k+1 donc p²=(2k+1)²=4k²+4k+1 donc p²=2k'+1 donc p² non pair ainsi : (p² pair) ==> (p pair)
Supposons par l'absurde qu'il existe 2 entiers p et q premiers entre eux tels que √2=p/q donc p²/q²=2 donc p²=2q² donc p² est pair donc p est pair d'après le 1) donc p=2k avec k entier donc p²=(2k)²=4k² donc 2q²=4k² donc q²=2k² donc q est pair d'après le 1) donc p et q ne sont pas premier ! ainsi l’hypothèse initiale est fausse !! donc √2 est irrationnel
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alors p=2k+1
donc p²=(2k+1)²=4k²+4k+1
donc p²=2k'+1
donc p² non pair
ainsi : (p² pair) ==> (p pair)
Supposons par l'absurde qu'il existe 2 entiers p et q premiers entre eux
tels que √2=p/q
donc p²/q²=2
donc p²=2q²
donc p² est pair
donc p est pair d'après le 1)
donc p=2k avec k entier
donc p²=(2k)²=4k²
donc 2q²=4k²
donc q²=2k²
donc q est pair d'après le 1)
donc p et q ne sont pas premier !
ainsi l’hypothèse initiale est fausse !!
donc √2 est irrationnel