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Bonjour,

On note I le milieu de [BC]

Puisque ABC est un triangle rectangle et isocèle en A, on a AB=AC et IB = IC

(AI) est donc la médiatrice de [BC] soit (AI) ⊥ (BC) ou encore AIC=AIB = 90°

On en déduit que ABC = BAI = IAC = ACB = 45°

et que ABD = DBC = ABC/2 = 22,5°

D'autre part (AE) // (BD)

Les angles AEC et DBC sont correspondant et donc égaux, soit AEC = DBC = 22,5°

Enfin, on a EAB = EAC - BAC = (180° - AEC - ACB) - BAC = (180° - 22,5° - 45°) - 90° = 22,5°

On en déduit que EAB = AEC ce qui nous permet de conclure que le triangle ABE est isocèle en B soit AB = BE = x

Le th. de Thalès appliqué au triangle AEC nous permet de dire que CD/CA = CB/CE soit CD/CA = CB / (CB + BE) = 1 / (1 + BE/CB)

Ce qui implique que DC = x / (1 + x / (x√2)) = x√2 / (1 + √2)

2 ) AD = AC - DC = x - x√2 / (1 + √2) = x (1 + √2 - √2) / (1 + √2) = x / (1 + √2) = (√2 - 1) x

{ on note que (√2 - 1) (√2 + 1) = (√2)² - 1² = 2 - 1 = 1 }

BD² = AB² + AD² = x² + (√2 - 1)² x² = (1 + 2 + 1 - 2√2) x² = (4 - 2√2) x²

⇒ BD = x √(4 - 2√2)

3 ) on en déduit que cos(22,5°) = AB/BD = x / [x √(4 - 2√2)] = 1 / √(4 - 2√2) = √(4 + 2√2) / √(4² - (2√2)²) = √(4 + 2√2) / (2√2)

Soit cos(22,5°) =  ½ √(2 + √2)

et que sin(22,5°) = AD/BD = (√2 - 1) x / [x √(4 - 2√2)] = (√2 - 1) / √(4 - 2√2) = ½ (√2 - 1) √(2 + √2) = ½ √[(√2 - 1)² (2 + √2)] = ½ √[(3 - 2√2) (2 + √2)] = ½ √(6 + 3√2 - 4√2 - 4)

Soit sin(22,5°) = ½ √(2 - √2)

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(4 - 2√2) (4 + 2√2) = 4² - (2√2)² = 16 - 8 = 8 ⇒ 1 / (4 - 2√2) = (4 + 2√2) / 8 = (2 + √2) / 4