Svp svp svp j ai un examen plllllz aidez moi c vrmt urgent choisissez n'importe quel exercice, se qui m'intéresse c'est que je puisse comprendre quelque chose de cette leçon
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laurance
J'ai pris le 2 mais je veux te dire qu'on ne voit pas grand chose à ta photo, bon , alors
un polynôme du premier degré s'écrit ax +b du second degré ax² +bx +c
du troisième degré ax^3 +bx² +cx +d etc... chaque fois tu rajoutes une puissance de plus
question 1 P(x)=ax²+bx+c donc P(x+1)=a(x+1)² + b(x+1)+c x est remplacé par x+1 dans la formule P(x+1)-P(x)=a(x+1)² +b(x+1)+c-ax²-bx -c faut savoir que (x+1)²=x²+2x+1 P(x+1)-P(x)=ax² + 2ax + a + bx + b- ax²- bx = 2ax + a + b maintenant si on veut que ça donne x il faut que 2a = 1 et a+b = 0 a = 1/2 = 0,5 et b = -a = -0,5 P(x)= 0,5x² - 0,5x + c ( c ce qu'on veut par exemple 1) P(x)= 0,5x² - 0,5x + 1 enfin pour la somme il suffit de remplacer x par 1 puis 2 puis3 P(1+1) - P(1)= 1 P(2+1)-P(2)=2 P(3+1)-P(3)= 3 etc... ainsi P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(4)-P(3)+...+P(n+1)-P(n)=1+2+3+...+n -P(1)+P(n+1)= 1+2+3+...+n 1+2+3+...+n= -(0,5-0,5+1) + 0,5(n+1)² -0,5(n+1) + 1 = -1 +0,5(n²+2n+1) -0,5(n+1) + 1 =0,5n² +n +0,5 -0,5n -0,5 = 0,5n² + 0,5n question 2 pareil mais troisième degré et là il faut savoir que (x+1)^3 = (x+1)²(x+1)= x^3 +3x² + 3x +1 d'où P(x+1)-P(x)=ax^3 + 3ax² + 3ax+a + bx² +2 bx+b+cx+c+d- ax^3- bx²-cx-d = 3ax² + 3ax + 2bx + a + b +c maintenant si on veut que ça donne x² il faut que 3a = 1 et 3a+2b = 0 et a +b+ c= 0 a = 1/3 et b = -3a/2 = - 1/2 c = -a-b = -1 /3 + 1/2 = 1/6
P(x)= 1/3x^3 - 1/2x² + 1/6x + 1 par ex enfin pour la somme il suffit de remplacer x par 1 puis 2 puis3 P(1+1) - P(1)= 1² P(2+1)-P(2)=2² P(3+1)-P(3)= 3 ² etc... ainsi P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(4)-P(3)+...+P(n+1)-P(n)=1²+2²+3²+...+n² -P(1)+P(n+1)= 1²+2²+3²+...+n² 1²+2²+3²+...+n²= -(1/3-1/2+1/6+1) + 1/3(n+1)^3 -1/2(n+1)² + 1/6(n+1) +1 = = -1 +1/3(n^3+3n²+3n+1) -1/2(n²+2n+1) + 1/6(n+1) + 1 =1/3 n^3 +1/2 n² +1/6 n
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bon , alors
un polynôme du premier degré s'écrit ax +b
du second degré ax² +bx +c
du troisième degré ax^3 +bx² +cx +d
etc... chaque fois tu rajoutes une puissance de plus
question 1 P(x)=ax²+bx+c donc P(x+1)=a(x+1)² + b(x+1)+c
x est remplacé par x+1 dans la formule
P(x+1)-P(x)=a(x+1)² +b(x+1)+c-ax²-bx -c
faut savoir que (x+1)²=x²+2x+1
P(x+1)-P(x)=ax² + 2ax + a + bx + b- ax²- bx = 2ax + a + b
maintenant si on veut que ça donne x il faut que 2a = 1 et a+b = 0
a = 1/2 = 0,5 et b = -a = -0,5
P(x)= 0,5x² - 0,5x + c ( c ce qu'on veut par exemple 1)
P(x)= 0,5x² - 0,5x + 1
enfin pour la somme il suffit de remplacer x par 1 puis 2 puis3
P(1+1) - P(1)= 1
P(2+1)-P(2)=2
P(3+1)-P(3)= 3 etc...
ainsi
P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(4)-P(3)+...+P(n+1)-P(n)=1+2+3+...+n
-P(1)+P(n+1)= 1+2+3+...+n
1+2+3+...+n=
-(0,5-0,5+1) + 0,5(n+1)² -0,5(n+1) + 1
= -1 +0,5(n²+2n+1) -0,5(n+1) + 1
=0,5n² +n +0,5 -0,5n -0,5
= 0,5n² + 0,5n
question 2
pareil mais troisième degré et là il faut savoir que
(x+1)^3 = (x+1)²(x+1)= x^3 +3x² + 3x +1
d'où
P(x+1)-P(x)=ax^3 + 3ax² + 3ax+a + bx² +2 bx+b+cx+c+d- ax^3- bx²-cx-d = 3ax² + 3ax + 2bx + a + b +c
maintenant si on veut que ça donne x² il faut que
3a = 1 et
3a+2b = 0 et a +b+ c= 0
a = 1/3 et b = -3a/2 = - 1/2 c = -a-b = -1 /3 + 1/2 = 1/6
P(x)= 1/3x^3 - 1/2x² + 1/6x + 1 par ex
enfin pour la somme il suffit de remplacer x par 1 puis 2 puis3
P(1+1) - P(1)= 1²
P(2+1)-P(2)=2²
P(3+1)-P(3)= 3 ² etc...
ainsi
P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(4)-P(3)+...+P(n+1)-P(n)=1²+2²+3²+...+n²
-P(1)+P(n+1)= 1²+2²+3²+...+n²
1²+2²+3²+...+n²=
-(1/3-1/2+1/6+1) + 1/3(n+1)^3 -1/2(n+1)² + 1/6(n+1) +1 =
= -1 +1/3(n^3+3n²+3n+1) -1/2(n²+2n+1) + 1/6(n+1) + 1
=1/3 n^3 +1/2 n² +1/6 n