O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo [tex][cos(pi/8) + isen (pi/8)]^n[/tex] é negativa é:
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n = 9
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O conjunto dos números Complexos surgiu da necessidade de se fazer operações matemáticas não suportadas pelo conjunto dos Reais.
A ideia básica é a existência de raiz de índice par de um número negativo:
i² = -1 ou i = √-1
No nosso caso, o complexo [tex][cos\frac{\pi}{8}+isen\frac{\pi}{8}]^n[/tex] tem como ponto de interesse o ângulo [tex]\frac{\pi}{8}[/tex].
Marcando todos os seus múltiplos na circunferência é possível identificar que a 9ª marcação é onde surge o primeiro negativo na parte imaginária (ver figura).
De n = 1 até n = 8 a parte imaginária é ≥ 0
De n = 9 até n = 16 a parte imaginária é ≤ 0
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Tanto na potenciação como na radiciação de complexos o ângulo do número complexo serve de unidade de medida ao longo da circunferência trigonométrica e indica exatamente onde estão os números com expoentes ou raízes com n = 1, n = 2, ..., n = 9, ...