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Determine a equação reduzida da circunferência que tem centro na reta de equação [tex]x - 2y + 9 = 0[/tex] e que passa pelos pontos P( 1; -4) e Q( 5; 2).
Resposta: ( x + 3 )² + ( y - 3 )² = 65
Apresente o cálculo completo.
Determine a equação reduzida da circunferência que tem centro na reta de equação [tex]x - 2y + 9 = 0[/tex] e que passa pelos pontos P( 1; -4) e Q( 5; 2).
Resposta: ( x + 3 )² + ( y - 3 )² = 65
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Se a circunferência passa pelos pontos P e Q, então a distância entre o centro e o ponto P é igual ao raio, assim como a distância entre o centro e o ponto Q. Logo:
R² = (a - 1)² + (b + 4)² ---> Obs: esta é a fórmula da distância entre dois pontos
R² = (a - 5)² + (b - 2)²
Igualando as duas equações:
(a - 1)² + (b + 4)² =(a - 5)² + (b - 2)²
a² - 2a + 1 + b² + 8b + 16 = a² - 10a + 25 + b² - 4b + 4
8a + 12b = 12 ---> 2a + 3b = 3
Ele diz também que o centro (a,b) está na reta x - 2y + 9 = 0, ou seja, o ponto C satisfaz a equação a - 2b + 9 = 0. Isolando o a, temos a = 2b - 9.
Substituindo, temos
2 . (2b - 9) + 3b = 3 ---> 4b - 18 + 3b = 3 ---> b = 3
a = 2 . 3 - 9 ---> a = - 3
Com o valor de a e b, podemos achar R² utilizando:
R² = (a - 1)² + (b + 4)² = (-4)² + 7² = 16 + 49 = 65
Sendo assim, descobrimos que a equação reduzida dessa circunferência é
(x + 3)² + (y - 3)² = 65
Resposta:
a=2b-9
(1-a)²+(-4-b)²=r²
(5-a)²+(2-b)²=r²
P( 1; -4) e Q( 5; 2)
(1-a)²+(-4-b)² = (5-a)²+(2-b)²
sabemos que a=2b-9
(1-2b+9)²+(-4-b)² = (5-2b+9)²+(2-b)²
(-2b+10)²+(-4-b)² = (-2b+14)²+(2-b)²
b=3
a=2*3-9=-3
(5+3)²+(2-3)²=r²
64+1=r²
(x+3)²+(y-3)²=65