Sobre o cálculo de funções é possível determinar:

a)  f(1) + f(3) =2 + 4√2.

b) f(x) = 1^2 = 1 para todo x real.

c) A inequação é verdadeira para qualquer valor de x e seu intervalo é dado por: (-infinito, +infinito).

Calculando as funções

a) Substituindo x = 2 na equação f(ax) = f(x)^a, obtemos:

• f(2a) = f(2)^a = 4^a.

Em particular, para a = 1/2, temos:

• f(2(1/2)) = f(1)^(1/2), ou seja, f(1) = √4 = 2.
• f(2(3/2)) = f(3)^(3/2), ou seja, 4(2^3/2) = f(3)^(3/2).
• f(3) = 8/√2 = 4√2.

Portanto, f(1) + f(3) = 2 + 4√2.

b) Aplicando a propriedade f(ax) = f(x)^a com a = 1/2, temos f(x/2) = f(x)^(1/2). Aplicando novamente com a = 1/2, temos f(x/4) = f(x/2)^(1/2) = [f(x)^(1/2)]^(1/2) = f(x)^(1/4). Continuando assim, podemos escrever:

• f(x) = f(x/2)^2 = [f(x/4)^(1/2)]^2 = [f(x/8)^(1/4)]^2 = ... = [f(x/2^n)^(1/2^n)]^2

Tomando o limite quando n tende ao infinito, temos:

• f(x) = lim (n → ∞) [f(x/2^n)^(1/2^n)]^2 = [lim (n → ∞) f(x/2^n)^(1/2^n)]^2
• Como f(x/2^n) = f(x)^(1/2^n)
• lim (n → ∞) f(x/2^n)^(1/2^n) = lim (n → ∞) [f(x)^(1/2^n)]^(1/2^n) = 1

Portanto, f(x) = 1^2 = 1 para todo x real.

c) Para encontrar o intervalo de x para o qual a inequação f(x) - f(x - 1) + 2 é verdadeira, precisamos encontrar a expressão de f(x) e usar a propriedade dada. A partir da propriedade f(ax) = f(x)^a, podemos obter f(x) = f(2)^(x/2) = 4^(x/2) = 2^x. Assim, a inequação se torna:

• 2^x - 2^(x-1) + 2 > 0

Simplificando, temos:

• 2^(x-1) > -2

Como 2^(x-1) é sempre positivo, a inequação é verdadeira para qualquer valor de x, ou seja, o intervalo é dado por: (-infinito, +infinito).

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