Bonjour, Pour un DM de Mathématiques Expertes, je dois résoudre une équation de degrés 4 dans l'ense.... Pergunta de ideia demaxencec972

December 2020 1 109 Report

Bonjour,
Pour un DM de Mathématiques Expertes, je dois résoudre une équation de degrés 4 dans l'ensemble des complexes. Le problème est que je n'ai aucun idée de comment trouver les racines d'un polynôme de degré 4. Est ce que vous pouvez m'aider ?
Voici le polynôme en question : [tex]z^{4} -10z^{3}+38z^{2}-90z+261[/tex]
Merci d'avance pour votre aide

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francoismareau

Bonjour,

Je ne vois pas de solution miracle ce coup-ci...

Une idée logique est de chercher une solution imaginaire pure, sous la forme $\mathrm{i} x_0$ avec $x_0 \in \mathbb{R}$ .

En injectant dans l'équation, il vient, en identifiant parties réelles et imaginaires :

$\left(x_0^4-38x_0^2+261 \right)+\left(10x_0^3-90x_0\right) \mathrm{i}=0 \iff \left \{ {{x_0^4-38x_0^2+261=0} \atop {10x_0^3-90x_0=0}} \right.$ .

On peut éliminer la solution nulle (0 ne convient pas) et on obtient alors :

$\left \{ {{x_0^4-38x_0^2+261=0} \atop {x_0^2=9}} \right. \iff \left \{ {{x_0^4-38x_0^2+261=0} \atop {x_0=-3}} \right. \text{ ou } \left \{ {{x_0^4-38x_0^2+261=0} \atop {x_0=3}} \right.$ et ces deux solutions conviennent bien.

Ainsi, $-3\mathrm{i}$ et $3\mathrm{i}$ sont deux racines du polynôme.

Il reste à trouver les deux dernières. C'est facile en factorisant. On écrit :

$z^4-10z^3+38z^2-90z+261=(z-3\mathrm{i})(z+3\mathrm{i})(z^2+az+b)$

avec a et b deux réels à déterminer.

En développant, on obtient :

$z^4-10z^3+38z^2-90z+261=(z^2+9)(z^2+az+b)=z^4+az^3+(b+9)z^2+9az+9b$

donc : $a=-10 \text{ et } b=29$ ; soit $z^4-10z^3+38z^2-90z+261=(z^2+9)(z^2-10z+29)$ .

Il ne reste plus qu'à trouver les racines du polynôme $z^2-10z+29$ , ce qui se fait facilement avec le discriminant. On trouve $5+2\mathrm{i}$ et $5-2\mathrm{i}$ .

Finalement, les quatre racines du polynôme précédent sont $\boxed{5+2\mathrm{i}, \, 5-2\mathrm{i},\, 3\mathrm{i}, \, -3\mathrm{i}}$ .

2 votes Thanks 1

maxencec972 Ah ouiii merci j'y avais pensé

francoismareau De rien !

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