Bonjour,
Pour un DM de Mathématiques Expertes, je dois résoudre une équation de degrés 4 dans l'ensemble des complexes. Le problème est que je n'ai aucun idée de comment trouver les racines d'un polynôme de degré 4. Est ce que vous pouvez m'aider ?
Voici le polynôme en question : [tex]z^{4} -10z^{3}+38z^{2}-90z+261[/tex]
Merci d'avance pour votre aide
Pour un DM de Mathématiques Expertes, je dois résoudre une équation de degrés 4 dans l'ensemble des complexes. Le problème est que je n'ai aucun idée de comment trouver les racines d'un polynôme de degré 4. Est ce que vous pouvez m'aider ?
Voici le polynôme en question : [tex]z^{4} -10z^{3}+38z^{2}-90z+261[/tex]
Merci d'avance pour votre aide
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Bonjour,
Je ne vois pas de solution miracle ce coup-ci...
Une idée logique est de chercher une solution imaginaire pure, sous la forme
avec 
.
En injectant dans l'équation, il vient, en identifiant parties réelles et imaginaires :
On peut éliminer la solution nulle (0 ne convient pas) et on obtient alors :
Ainsi,
et 
sont deux racines du polynôme.
Il reste à trouver les deux dernières. C'est facile en factorisant. On écrit :
avec a et b deux réels à déterminer.
En développant, on obtient :
donc :
; soit 
.
Il ne reste plus qu'à trouver les racines du polynôme
, ce qui se fait facilement avec le discriminant. On trouve 
et 
.
Finalement, les quatre racines du polynôme précédent sont
.