[Desafio] Na verdade não é bem um desafio, basta resolver a seguinte operação por meio de dois métod.... Pergunta de ideia deEriivan

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PRIMEIRO MÉTODO - FÓRMULA DE MOIVRE:

Dado: $z = 1+i$ , pede-se: $z^8$ .

Vamos encontrar o módulo deste número complexo, ou seja, o que chamamos de $\rho$ .

$Mo\´dulo \to \left\{\begin{array}{ccc}\rho = \sqrt{a^2+b^2}\\\\\rho = \sqrt{1^2+1^2}\\\\\rho =\sqrt{2} \end{array}\right$

Seno e Cosseno desse complexo:

$\left\{\begin{array}{ccc}sen\ \alpha = \frac{b}{\rho} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\\\cos\ \alpha = \frac{a}{\rho} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right$

$\boxed{\boxed{\alpha = 45^o = \frac{\pi}{4}}}$

$Resolu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc}z = \rho*(cos\ \alpha + i*sen\ \alpha)\\\\z =\sqrt{2}*(cos\ \frac{\pi}{4}+i*sen\ \frac{\pi}{4})\\\\z^8 = (\sqrt{2})^8*(cos\ \frac{8*\pi}{4}+i*sen\ \frac{8*\pi}{4})\\\\z^8 = 2^4*(cos\ 2 \pi+i* sen\ 2\pi)\\\\z^8 = 2^4*(cos\ 2*180^o+i*sen\ 2*180^o)\\\\z^8 = 2^4*(cos\ 360^o+i*sen\ 360^o)\\\\z^8 = 2^4*(1+i*0)\\\\z^8 = 2^4*1\\\\\boxed{\boxed{z^8 = 2^4}}\end{array}\right$

SEGUNDO MÉTODO - FATORAÇÃO/SIMPLIFICAÇÃO:

$Resolu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc}(1+i)^8 = \\\\ \{(1+i)^2\}^4 = \\\\\{1+2i+i^2\}^4=\\\\\{1+2i-1\}^4=\\\\\{2i\}^4 = \\\\16i^4 = \\\\\boxed{\boxed{16*1 = 16\ ou\ 2^4}}\end{array}\right$

Espero ter ajudado. =^.^=

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Eriivan Correto, esperava pelo método do binomial no segundo método, Faltou mencionar quanto é cos 2\pi e sen2\pi

IzzyKoushiro Eu estava fazendo no caderno pelo método do binomial, mas eu percebi essa fatoração e achei mais prático. Vou editar a resposta e indicar os valores do sen e cos.

IzzyKoushiro Pronto!

Eriivan pelo binomial é um pouco chato por causa do desenvolvimento

IzzyKoushiro Exatamente!