Réponse :

f(x) = (x² + x + 4)/(x - 3)      définie sur  R - {3}

1) déterminer la limite de f  en + ∞

  lim f(x)  = ∞/∞  F.I

  x → + ∞

pour lever l'indétermination  on écrit f(x)  sous la forme suivante :

f(x) = x²(1 + 1/x + 4/x²)/x(1 - 3/x)

     = x(1 + 1/x + 4/x²)/(1 - 3/x)

lim 1/x = 0   ;  lim 4/x²  = 0  par addition  lim(1 + 1/x + 4/x²) = 1

x→ + ∞            x→ + ∞                                  x→ + ∞

lim 3/x = 0   ;  lim 1  = 1    donc  par addition  lim(1 - 3/x) = 1

x→ + ∞             x→ + ∞                                        x→ + ∞  

par quotient  lim(1 + 1/x + 1/x²)/(1 - 3/x) = 1

                      x→ + ∞

lim x = + ∞    par produit  lim x(1+1/x+4/x²)/(1- 3/x²) = + ∞

x→ + ∞                                x→ + ∞

2) cette limite permet-elle de connaitre une asymptote à Cf  

la réponse est non

3) déterminer de même la limite de f lorsque x tend vers 3, en restant inférieur à 3

lim f(x) = lim (x² + x + 4)/(x - 3)  = - ∞

x→ 3        x→ 3

x < 3        x < 3

lim(x² + x + 4) = 16     et  lim (x - 3) = 0⁻

x→3                                  x→ 3

x < 3                                 x < 0

par quotient  lim f(x) = - ∞

                      x→ 3

                       x < 3

4) cette limite donne-t-elle une asymptote à Cf ?

la réponse est  oui   et l'équation de cette asymptote est  x = 3   (asymptote verticale)

5) justifier  que pour x ≠ 3   f '(x) = (x² - 6 x - 7)/(x-3)²

f(x) = (x² + x + 4)/(x - 3)

f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/u²

u(x) = x² + x + 4  ⇒ u'(x) = 2 x + 1

v(x) = x - 3  ⇒ v'(x) = 1

f '(x) = [(2 x + 1)(x - 3) - (x² + x + 4)]/(x-3)²

       = (2 x² - 5 x - 3 - x² - x - 4)/(x - 3)²  

       = (x² - 6 x - 7)/(x - 3)²

en déduire le tableau de variation de la fonction f  sur [- 7 ; 19]

f '(x) = 0  ⇔  x² - 6 x - 7 = 0

Δ = 36 + 28 = 64

x1 = 6+8)/2 = 7  ⇒ f(7) = (7²+7+4)/(7-3) = 15

x2 = 6 - 8)/2 = - 1  ⇒ f(-1) = ((-1)² - 1 + 4)/-4 = - 1

              x    - 7                          - 1                        3                 7               19

            f(x)   - 4.6 →→→→→→→→→→- 1→→→→→→→→ - ∞ ||+∞→→→→→15→→→→→→ 24

                      croissante            décroissante    décroissante   croissante

6) Montrer que sur  [0 ; 3[ l'équation  f(x) = - 5

    admet une seule solution  x0

 * sur l'intervalle [0 ; 3[  f(x) est dérivable donc continue

 *  sur  [0 ; 3[  la fonction f est décroissante

 * lim f(x) = - 7/9   et lim f(x) = - ∞

   x→0                        x→ 3⁻

donc la fonction f  sur [0 ; 3[ admet une seule solution x0

Explications étape par étape :