me ajudem a resolver esta inequação logarítmica. A solução é 0,5≤x≤1 ou x≥8[tex]log _{2}x-log

October 2020 1 198 Report

me ajudem a resolver esta inequação logarítmica. A solução é 0,5≤x≤1 ou x≥8
[tex]log _{2}x-log _{x}8-2 \geq 0[/tex]

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korvo

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Olá Dany,

dada a inequação logarítmica,

$log_2x-log_x8-2 \geq 0$

vamos impor a condição de existência:

$\begin{cases}base~\to~1 \neq x>0\\
logaritmando~\to~x>0\end{cases}$

Sabendo-se que a inequação encontra-se na base 2 e na base x, temos que deixa-las na mesma base, (usaremos a propriedade de mudança de base), optaremos pela base 2:

$log_cb~\to~ \dfrac{logb}{logc}$

_____________________________

$log_2x- \dfrac{log_28}{log_2x}-2 \geq 0\\\\
usando~a~preliminar~de~logaritmos,~log_28=3,~temos~que:\\\\
log_2x- \dfrac{3}{log_2x}-2 \geq 0\\\\
Usando~uma~variavel~auxiliar,~fazendo~log_2x=k:\\\\
k- \dfrac{3}{k}-2 \geq 0\\\\
(k*k)-3-2*k \geq 0\\\\
k^2-2k-3 \geq 0~\to~inequacao~do~2o~grau\\\\
raizes~\to~k'=3~~e~~k''=-1$

$Retomando~a~variavel~original,~log_2x=k:\\\\
para~k=3:~~~~~~~~~~para~k=-1\\
log_2x=3~~~~~~~~~~~~~~log_2x=-1\\
x=2^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=2^{-1} \\\\
x=8~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x= \dfrac{1}{2}=0,5$

Como a condição para a base diz que x deve ser > 0 e ≠ 1, e o logaritmando x > 0, podemos seguir o sinal da desigualdade, portanto a solução da inequação será:

$\boxed{S=\{x\in R~|~0,5 \leq x \neq 1~e~x \geq 8\}}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))

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