Resposta:

Para resolver o problema, podemos usar a lei dos cossenos e a fórmula da área de um triângulo. Vamos calcular cada parte do problema separadamente:

a) Os lados BC e CA:

Podemos usar a lei dos cossenos para encontrar os lados BC e CA em função do lado AB e dos ângulos correspondentes. A lei dos cossenos é dada pela fórmula:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)

Onde c é o lado oposto ao ângulo C e a, b são os outros dois lados.

Usando a lei dos cossenos para o lado BC, temos:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cos(k + 7)

Usando a lei dos cossenos para o lado CA, temos:

CA^2 = AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cos(k - 11)

Como queremos encontrar os lados BC e CA, vamos isolar AC em uma das equações e substituir na outra equação.

BC^2 - AB^2 = AC^2 - 2*AB*AC*cos(k + 7)

CA^2 - AB^2 = AC^2 - 2*AB*AC*cos(k - 11)

Somando as duas equações, temos:

(BC^2 - AB^2) + (CA^2 - AB^2) = 2*AC^2 - 2*AB*AC*(cos(k + 7) + cos(k - 11))

Simplificando, temos:

2*CA^2 - 2*AB^2 = 2*AC^2 - 2*AB*AC*cos(k + 7) - 2*AB*AC*cos(k - 11)

CA^2 - AB^2 = AC^2 - AB*AC*(cos(k + 7) + cos(k - 11))

Agora, podemos isolar AC na equação:

AC^2 = (CA^2 - AB^2) / (1 - cos(k + 7) - cos(k - 11))

AC = sqrt((CA^2 - AB^2) / (1 - cos(k + 7) - cos(k - 11)))

Substituindo AC na primeira equação:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cos(k + 7)

BC^2 = AB^2 + (CA^2 - AB^2) / (1 - cos(k + 7) - cos(k - 11)) - 2*AB*sqrt((CA^2 - AB^2) / (1 - cos(k + 7) - cos(k - 11)))*cos(k + 7)

BC = sqrt(AB^2 + (CA^2 - AB^2) / (1 - cos(k + 7) - cos(k - 11)) - 2*AB*sqrt((CA^2 - AB^2) / (1 - cos(k + 7) - cos(k - 11)))*cos(k + 7))

Portanto, os lados BC e CA são dados pelas fórmulas acima.

b) O perímetro:

O perímetro do triângulo é a soma dos três lados, ou seja, AB + BC + CA.

c) A área:

A área do triângulo pode ser calculada usando a fórmula de Heron:

Área = sqrt(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CA))

Onde s é o semiperímetro, dado por s = (AB + BC + CA) / 2.

Dessa forma, substituindo os valores calculados acima, podemos obter a área do triângulo.

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Resposta:

a) BC = 3,92 m e 3,25 m (aproximadamente)

b) Perimetro = 10,87 m (aproximadamente)

c) Área = 5.6 m2 (aproximadamente)