Um paralelepípedo ABCDEFGH de base ABCD tem volume igual a 9 unidades. Sabendo-se que A(1,1,1), B(2,1,2), C(1,2,2), o vértice E pertence à reta r de equação r : x = −y = 2− z e (AE, i) r é agudo. Mostre as coordenadas do vértice E
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As coordenadas para o vértice E são (12, -12, -10).
Geometria Analítica
Ramo da Matemática que estuda distâncias e características de figuras perante a um espaço métrico.
Nessa questão, é necessário que realizemos os seguintes passos:
1. A parametrização da reta:
Vamos valor que [tex]x=t[/tex], assim as outras variáveis vão ficar:
[tex]y=-t[/tex]
[tex]z=2-t[/tex]
2. Realizando as distâncias entre os pontos:
Para realizar a equação característica, vamos fazer todas as distâncias a um ponto fixo, escolhemos A:
[tex]\vec{AB}=(2-1,1-1,2-1)=(1,0.1)[/tex]
[tex]\vec{AC}=(0,2-1,2-1)=(0,1,1)[/tex]
[tex]\vec{AE}=(1-t,-t-1,2-1-t)=(1-t,-t-1,1-t)[/tex]
3. Realizando a matriz:
Agora vamos colocar os vetores dentro a uma matriz para encontrar as possíveis resoluções para t em meio ao volume:
[tex](1-t)-[(t-1)+(-t-1)]=\left| -t+3\right|=9[/tex]:
[tex].[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AE}]= \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1 \\t-1 &-1-t & 1-t \\\end{pmatrix}[/tex]
Realizando as multiplicações em diagonal:
[tex](1-t)-[(t-1)+(-1-t)]= \left| 3-t\right |=9[/tex]
As respostas para t agora se limitam em t=-6 e t =12.
4. Verificando se é agudo ou não
O valor entre o produto de [tex]\vec{AE} *\vec{i}=+[/tex] deve ser positivo para que (AE,i) seja agudo:
Vamos testar o valor de t = -6, substituindo no vetor AE:
[tex]\vec{AE}=(-6-1,-(-6)-1,5+2)=(-7,5,7)[/tex]
Multiplicando i:
[tex]\vec{AE}*i=[-7*1,0*5,7*0]=-7[/tex]
O produto escalar entre o vetor AE e i não pode ser negativo para ser agudo, então vamos testar a próxima resposta:
[tex]\vec{AE}=(12-1,-12-1,-13+2)=(11,-13,-11)[/tex]
Multiplicando i:
[tex]\vec{AE}*\vec{i}=11[/tex]
Assim, encontramos o parâmetro correto t=-12
5. Encontrando E
Basta somar A mais vetor AE para encontrar as coordenadas no vetor E:
[tex]\vec{E}=\vec{AE}+\vec{A}=(11,-13,-11)+(1,1,1)=(12,-12,10)[/tex]
Assim a resposta para essa questão é (12,-12,-10).
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