A solução para essa pergunta é[tex]\boxed{\boxed{\sf V=\frac{g}{a}( 1-e ^{-at}) + v_0 e^{-at} }}[/tex]
Resolução
Para velocidades relativamente baixas, podemos considerar que a força de resistência exercida pelo ar é proporcional á velocidade da queda. Para isso vamos chamar a constante de proporcionalidade de K e a massa do paraquedista de M.
Duas forças opostas estarão agindo sobre o paraquedista: seu peso Mg( onde g é a aceleração da gravidade, cerca de [tex]\sf 9,8 M/s^2[/tex]) e a resistência do ar kv (onde [tex]\sf V=v(t)[/tex] é a velocidade de queda no ponto t). A força resultante na direção do movimento é [tex]\sf F=mg-kv[/tex], onde o sinal de menos indica que a força de resistência age em uma direção oposta á direção do movimento.
A segunda lei de Newton(Lei de movimento) diz que [tex]\sf F=ma, ~onde ~a =\dfrac{dv}{dt}[/tex] é a aceleração ou taxa de variação da velocidade do tempo, Então vamos ter a seguinte equação:
[tex]\sf m\dfrac{dv}{dt}=mg-kv~(I)[/tex]
A equação 1 é a equação de movimento da questão, ela é uma equação diferencial linear tendo [tex]\sf V=v(t)[/tex] como a função desconhecida, para resolve-la precisamos simplificar ela dividindo ela por m:
Se considerarmos a expressão [tex]\sf \dfrac{dv}{dt}[/tex] como proporção entre duas diferenciais, podemos reescrever a equação 2 de modo que as duas variáveis, v e t, fiquem separadas em cada lado da equação.
Se o paraquedista abrir seu paraquedas imediatamente após saltar do avião, teremos [tex]\sf V_0=v[/tex], de modo que o último termo da equação 6 será eliminado, Mas se ele cair livremente, antes de abrir o paraquedas, o efeito da velocidade inicial [tex]\sf V_0=v[/tex] vai diminuir exponencialmente conforme o tempo avançar.
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A solução para essa pergunta é [tex]\boxed{\boxed{\sf V=\frac{g}{a}( 1-e ^{-at}) + v_0 e^{-at} }}[/tex]
Resolução
Para velocidades relativamente baixas, podemos considerar que a força de resistência exercida pelo ar é proporcional á velocidade da queda. Para isso vamos chamar a constante de proporcionalidade de K e a massa do paraquedista de M.
Duas forças opostas estarão agindo sobre o paraquedista: seu peso Mg( onde g é a aceleração da gravidade, cerca de [tex]\sf 9,8 M/s^2[/tex]) e a resistência do ar kv (onde [tex]\sf V=v(t)[/tex] é a velocidade de queda no ponto t). A força resultante na direção do movimento é [tex]\sf F=mg-kv[/tex], onde o sinal de menos indica que a força de resistência age em uma direção oposta á direção do movimento.
A segunda lei de Newton(Lei de movimento) diz que [tex]\sf F=ma, ~onde ~a =\dfrac{dv}{dt}[/tex] é a aceleração ou taxa de variação da velocidade do tempo, Então vamos ter a seguinte equação:
A equação 1 é a equação de movimento da questão, ela é uma equação diferencial linear tendo [tex]\sf V=v(t)[/tex] como a função desconhecida, para resolve-la precisamos simplificar ela dividindo ela por m:
Se considerarmos a expressão [tex]\sf \dfrac{dv}{dt}[/tex] como proporção entre duas diferenciais, podemos reescrever a equação 2 de modo que as duas variáveis, v e t, fiquem separadas em cada lado da equação.
Agora integramos cada lado da equação 3 ou seja, temos que encontrar sua antiderivada.
Na equação 4 encontramos [tex]\sf - \dfrac{1}{a} In(g-av_0)=0+c=c[/tex]. Colocando este valor de volta na equação 4, teremos:
Pela regra dos logaritmos temos que [tex]\sf In~x-In~y=In \dfrac{x}{y}[/tex] de modo que podemos escrever a última equação como:
Finalmente resolvemos a última equação para v em relação a t:
[tex]\boxed{\boxed{\sf V=\frac{g}{a}( 1-e ^{-at}) + v_0 e^{-at} }}[/tex] ∴
Conclusão
Se o paraquedista abrir seu paraquedas imediatamente após saltar do avião, teremos [tex]\sf V_0=v[/tex], de modo que o último termo da equação 6 será eliminado, Mas se ele cair livremente, antes de abrir o paraquedas, o efeito da velocidade inicial [tex]\sf V_0=v[/tex] vai diminuir exponencialmente conforme o tempo avançar.