um poliedro convexo e formado por faces quadrangulares. a soma dos angulos de todas as faces e igual.... Pergunta de ideia delorranesilva

October 2020 1 81 Report

um poliedro convexo e formado por faces quadrangulares. a soma dos angulos de todas as faces e igual a 12 retos. qual o numero de arestas desses poliedro?

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FelipeQueiroz I) A gente sabe que uma aresta é comum a duas faces e que faces quadrangulares possuem quatro lados. Sendo assim, chamando de $F$ o número de faces, temos que o total de arestas de todas as $F$ faces vale $4F$ , porém cada aresta é contada duas vezes, por conta do ponto que citei no começo da resolução. Isso quer dizer que:

$4F=2A \Rightarrow \boxed{A=2F}$

ii) Agora precisamos saber o número total de faces desse poliedro. Temos que a soma dos ângulos de todas as faces vale 12 retos, que é o mesmo que 12.90° = 1080°.
Como todas as faces são quadrangulares temos que a soma dos ângulos internos de todas elas é 360° e como o poliedro tem $F$ faces a soma dos ângulos internos de todas as faces vale $F.360\°$ . Igualando as duas expressões teremos:

$1080\°=F.360\° \Rightarrow F=\frac{1080\°}{360\°}\Rightarrow \boxed{F=3}$

Agora que temos o valor de $F$ temos só que aplicá-lo na relação encontrada no início:

$A=2F\Rightarrow A=2.3 \\ \\ \boxed{\boxed{A=6}}$

Obs.: esse resultado vale apenas na teoria. Na verdade, não existe um poliedro com três faces. O número mínimo de faces de um poliedro é 4

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