Um polinômio P(x) deixa resto igual a 7 na divisão por x-3, e deixa resto 3 na divisão por x-7. Sendo R(x) o resto da divisão de P(X) por x^2-10x+21 determine o valor de R(1)
Lista de comentários
brn7mr
Pelo Teorema do Resto, sabemos que o resto da divisão de P(x) por x-3 é igual a P(3) e o resto da divisão de P(x) por x-7 é igual a P(7). Assim, temos:
P(3) = 7 P(7) = 3
Podemos escrever P(x) na forma:
P(x) = Q(x)(x-3)(x-7) + ax + b
Onde Q(x) é um polinômio qualquer, a e b são constantes a serem determinadas.
Para determinar a e b, vamos usar as informações que temos sobre os restos:
P(3) = 7 P(7) = 3
Substituindo na expressão acima, temos:
7 = Q(3)(3-3)(3-7) + 3a + b 7 = 3a + b
3 = Q(7)(7-3)(7-7) + 7a + b 3 = 7a + b
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
a = -2 b = 13
Assim, podemos escrever P(x) na forma:
P(x) = Q(x)(x-3)(x-7) - 2x + 13
Agora, vamos encontrar o resto da divisão de P(x) por x^2-10x+21. Podemos escrever:
P(x) = Q(x)(x^2-10x+21) + Rx + S
Onde R(x) é o resto da divisão de P(x) por x^2-10x+21 e S é um polinômio de grau 0 (ou seja, uma constante) que não influencia no resto da divisão.
Para encontrar R(x), vamos usar o método da divisão sintética:
Portanto, o resto da divisão de P(x) por x^2-10x+21 é R(x) = 11x - 134.
Para encontrar R(1), basta substituir x=1 na expressão acima:
R(1) = 11(1) - 134 = -123
Portanto, o valor de R(1) é -123.
0 votes Thanks 0
lucas12p16b2
Por que P(x) pode ser escrito como P(x) = Q(x)(x-3)(x-7) + ax + b ?? a parte P(x) = Q(x)(x-3)(x-7) eu entendi mas de onde vem esse ax + b? por que é ax e não ax^2 por exemplo?
Lista de comentários
P(3) = 7
P(7) = 3
Podemos escrever P(x) na forma:
P(x) = Q(x)(x-3)(x-7) + ax + b
Onde Q(x) é um polinômio qualquer, a e b são constantes a serem determinadas.
Para determinar a e b, vamos usar as informações que temos sobre os restos:
P(3) = 7
P(7) = 3
Substituindo na expressão acima, temos:
7 = Q(3)(3-3)(3-7) + 3a + b
7 = 3a + b
3 = Q(7)(7-3)(7-7) + 7a + b
3 = 7a + b
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
a = -2
b = 13
Assim, podemos escrever P(x) na forma:
P(x) = Q(x)(x-3)(x-7) - 2x + 13
Agora, vamos encontrar o resto da divisão de P(x) por x^2-10x+21. Podemos escrever:
P(x) = Q(x)(x^2-10x+21) + Rx + S
Onde R(x) é o resto da divisão de P(x) por x^2-10x+21 e S é um polinômio de grau 0 (ou seja, uma constante) que não influencia no resto da divisão.
Para encontrar R(x), vamos usar o método da divisão sintética:
3 7
+---------
21 | 1 -10 13
21 -147
--------
11 -134
Assim, temos:
P(x) = Q(x)(x^2-10x+21) + (11x - 134)
Portanto, o resto da divisão de P(x) por x^2-10x+21 é R(x) = 11x - 134.
Para encontrar R(1), basta substituir x=1 na expressão acima:
R(1) = 11(1) - 134 = -123
Portanto, o valor de R(1) é -123.