Um professor conta exatamente 3 piadas no seu curso anual. Ele tem como norma nunca contar num ano as mesmas 3 piadas que ele contou em qualquer outro ano. Qual o minimo de piadas diferentes que ele pode contar em 35 anos?
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O mínimo de piadas diferentes que ele pode contar em 35 anos é 7.
Vamos considerar que, em 35 anos, o professor possui um total de n piadas e precisa escolher 3 delas.
Para sabermos o total de maneiras para escolher essas três piadas, vamos utilizar a fórmula da Combinação.
A fórmula da Combinação é definida por
.
Sendo assim, temos que:
n(n - 1)(n - 2) = 35.3.2.1
n(n - 1)(n - 2) = 210
n(n² - 2n - n + 2) - 210 = 0
n³ - 3n² + 2n - 210 = 0.
Temos aqui uma equação do terceiro grau.
As possíveis raízes racionais são: ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±7, ±10, ±14, ±15, ±21, ±30, ±35, ±42, ±70, ±105, ±210.
Ao fazermos n = 7, obteremos o resultado zero.
Logo, n = 7 é uma solução da equação.
Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, obtemos:
7 | 1 -3 2 -210
| 1 4 30 | 0
Ou seja, (n - 7)(n² + 4n + 30) = 0.
A equação n² + 4n + 30 = 0 não possui raízes reais.
Portanto, concluímos que n = 7.
Para mais informações sobre Análise Combinatória, acesse: brainly.com.br/tarefa/18516585
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n (número de piadas) tal que a combinação de n 3 a 3 resulte em 35.Assim, teremos 35 combinações diferentes (não importando a ordem), o que serve ao enunciado, uma vez que o professor não repete as três perguntas em dois anos, mas pode contar duas e uma outra diferente.
n!/(n-3)!3! = 35
n(n-1)(n-2)/6 = 35
n^3 - 3n^2 + 2n -210 = 0
Testando possíveis soluçõe, a partir dos divisores do termo independente 210
Possíveis soluções = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 5, -5, 7, -7
Por observação, descartamos as possiveis soluções negativas.
Sendo f(n) = n^3 - 3n^2 + 2n -210
f(1)= -210
f(2)= -210
f(3)= -204
f(5)= -150
f(7)= 0
Logo, 7 é raiz
Aplicando o algoritmo de Briot Ruffini temos
n^3 - 3n^2 + 2n -210 = (n-7)*(n^2+4n+30)
As demais raízes, soluções de n^2+4n+30=0 são complexas (delta é menor que zero).
Assim, n=7 piadas.