Uma área ABC que estava "esquecida" no sítio de seu João foi reaproveitada para plantio, para isso, seu João a tratou e a reutilizou plantando alfaces. Os pontos abaixo sugerem a disposição da área. Se o lado CA mede 19 metros e sabendo que AÔB = k, BÔC = k + 16° e CÔA = k + 47°, pode-se dizer que a área reutilizada foi aproximadamente:
a) 53.63 m2
b) 63.73 m2
c) 73.83 m2
d) 83.73 m2
e) 93.37 m2
a) 53.63 m2
b) 63.73 m2
c) 73.83 m2
d) 83.73 m2
e) 93.37 m2
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Resposta:
A alternativa correta é a letra e, 93.37 m2
Explicação passo-a-passo:
Para resolver esse problema, antes devemos determinar os ângulos de tal forma que a + b + c = 180:
AÔB + BÔC + CÔA = 180°
k + k + 16° + k + 47° = 180°
3k = 180° - 47° - 16°
3k = 117°
k = 117°/3
k = 39°
• AÔB = 39°
• BÔC = k + 16° -> 55°
• CÔA = k + 47° -> 86°
Com os ângulos determinados, podemos também determinar os lados AB e BC da área já que CA = 19 metros, para isso, vamos usar a lei dos senos que diz:
A/sen(a) = B/sen(b) = C/sen(c)
Para determinar AB, usamos CA/sen(CÔA) = AB/sen(AÔB):
19/sen(86) = AB/sen(39)
AB = 12 m (aproximadamente)
Para determinar BC, usamos CA/sen(CÔA) = BC/sen(BÔC):
19/sen(86) = BC/sen(55)
BC = 15.6 m (aproximadamente)
Para determinar a área reutilizada, vamos usar a fórmula de Heron, pois a área é um triângulo de perímetro igual a AB + BC + CA, com isso, podemos determinar o semiperimetro e calcular a área de um triângulo qualquer. A fórmula diz que:
A = sqrt[p*(p - a)*(p - b)*(p - c)] em que p é o semiperimetro:
O semiperímetro é o Perímetro/2, então, temos:
p = (AB + BC + CA)/2
p = (AB + BC + CA)/2
p = (12 + 15.6 + 19)/2
p = 23.3 m (aproximadamente)
Então, vamos substituir na fórmula:
A = sqrt[p*(p - a)*(p - b)*(p - c)]
A = sqrt[23.3*(23.3 - 12)*(23.3 - 15.6)*(23.3 - 19)]
A = 93.37 m2 (aproximadamente)
Portanto, a alternativa correta é a letra e, 93.37 m2
Explicação passo-a-passo:
Questão trabalhosa, mas vou de letra e.