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Resposta:

a) A torneira sozinha leva 3 horas para encher o tanque (Considerando-o vazio completamente)

b) O vazamento leva 19 horas para esvaziar o tanque (Considerando-o completamente cheio)

Explicação passo-a-passo:

(i) Vamos chamar de x o tempo que a torneira sozinha leva para enche-lo completamente e x + 16 o tempo que o vazamento leva para esvazia-lo considerando-o completamente cheio

• x

• (x + 16)

(ii) Temos o tempo necessário "3 horas, 33 minutos e 45 segundos" que o tanque fica cheio quando está totalmente vazio, a torneira o enche mesmo com o vazamento simultaneamente.

(iii) Transformando "3 horas, 33 minutos e 45 segundos" em segundos, temos:

12 825 segundos (com essa conversão pode facilitar os cálculos)

(iv) Vamos montar uma regra de três simples para resolver o problema;

Imagine que L representa a quantidade de litros de um tanque e vamos determinar por meio de frações a quantidade de litros despejados por hora, então, temos;

• L/x

• L/(x + 16)

Agora, vamos considerar "L/x" positivo e "L/(x + 16)" como negativo, pois, enquanto um enche o outro esvazia simultaneamente;

L/x - L(x + 16) -> 16L/(x^2 + 16x), 16L/(x^2 + 16x)

representa a quantidade de litros despejados por hora, então (3 600 segundos = 1h);

Tempo                           Litros

3 600                    16L/(x^2 + 16x)

12 825                                L

16/57 = 16/(x^2 + 16x)

16/57 = 16/(x^2 + 16x)

1/57 = 1(x^2 + 16x)

x^2 + 16x = 57

x^2 + 16x + 64 = 57 + 64

(x + 8)^2 = 121

sqrt[(x + 8)^2] = sqrt(121)

x + 8 = 11

x = 11 - 8

x = 3

Se em x horas a torneira sozinha enche o tanque completamente, então, temos;

L/x -> L/3, ou seja, 3 horas

Se em x + 16 o vazamento do tanque o esvazia completamente, então, temos;

L/(x + 16) -> L/(3 + 16) -> L/19, ou seja, 19 horas

Portanto, conclui-se que:

a) A torneira sozinha leva 3 horas para encher o tanque (Considerando-o vazio completamente)

b) O vazamento leva 19 horas para esvaziar o tanque (Considerando-o completamente cheio)

Resposta:

[tex]\Large \textsf{Leia abaixo}[/tex]

Explicação passo a passo:

[tex]\Large \text{$ \sf \dfrac{1}{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 16}} = \dfrac{57}{16}$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf \dfrac{1}{\dfrac{x + 16}{x^2 + 16x} - \dfrac{x}{x^2 + 16x}} = \dfrac{57}{16}$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf \dfrac{x^2 + 16x}{16} = \dfrac{57}{16}$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf x^2 + 16x - 57 = 0$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf x^2 + 16x + 3x - 3x - 57 = 0$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf x^2 + 19x - 3x - 57 = 0$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf x\:.\:(x + 19) - 3\:.\:(x + 19) = 0$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf (x - 3)\:.\:(x + 19) = 0$}[/tex]

[tex]\Large \text{$ \sf x - 3 = 0$}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\boxed{\text{$ \sf x = 3 $}}}\leftarrow \textsf{tempo para encher em horas}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\boxed{\text{$ \sf x = 19 $}}}\leftarrow \textsf{tempo para esvaziar em horas}[/tex]