Un exploitant agricole dispose d'une parcelle de forme trapézoïdale. Dans cette parcelle, il souhaite délimiter une zone rectangulaire. On modélise la parcelle par un trapèze rectangle ABCD avec :
AB= 60 m
CD = 20 m et AD = 40 m.
On considère un point M mobile sur le segment [AD] et on construit le rectangle AMNP inscrit dans le trapèze ABCD, comme l'indique la figure ci-dessous. L'objectif de cet exercice est de déterminer :
s'il existe une position de M pour laquelle l'aire de la surface colorée est égale à 800 m².
s'il existe une position de M pour laquelle l'aire colo- rée est égale à celle du triangle PBN.
On note x la longueur AM et A la fonction, qui à x associe l'aire du rectangle AMNP.
1. À quel intervalle la variable x appartient-elle? On note I cet intervalle dans la suite. P
2. a. On admet que le triangle BNP est rectangle isocèle en P. Exprimer la longueur AP en fonction de x.
b. En déduire que l'aire du rectangle APNM est égale à A(x)=60x-x² (forme 1).
c. Justifier que, pour tout réel x appartient à l,
on a: A(x)=900-(x-30)² (forme 2)
3. Résoudre les deux problèmes posés en introduction en précisant, dans chaque cas, les positions du point M correspondantes.
4. Justifier que, pour tout x appartient à I, on a A(x) <900, préciser la valeur de x pour laquelle a(x) =900​