Une entreprise fabrique et vend un produit.
On note f(x) le coût de production (exprimé en milliers d'euros) de x tonnes de ce produit.
Pour 0≤x≤ 11, des études ont montré que f(x) = x³ - 12x² + 50x.
1. On admet que la fonction f est strictement croissante sur [0; 11].
Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal
(unités: 1 cm pour 1 tonne en abscisses et 1 cm pour 20 milliers d'euros en ordonnées)
2. L'entreprise vend son produit 30 000 euros la tonne.
On note g(x) la recette exprimée en milliers d'euros (l'argent gagné lors de la vente de x produit).
(a) Exprimer g(x) en fonction de x.
(b) Représenter graphiquement la fonction g dans le même repère que la fonction f. Justifier.
3. Déterminer graphiquement les quantités de produit que l'entreprise doit produire et vendre pour qu’elle soit bénéficiaire (la recette est supérieure aux coûts de production).
4. (a) Expliquer pourquoi l'entreprise sera bénéficiaire si et seulement si x(x^2-12x+20)<0
(b) Développer l'expression A(x) = (x-2)(x - 10).
(c) Résoudre l'inéquation x(x² - 12x +20) < 0 dans [0 ; 11]. (à l'aide d’un tableau de signes).
(d) Déduire des questions précédentes les quantités de produit que l’entreprise doit produire et vendre qu'elle fasse des bénéfices.
On note f(x) le coût de production (exprimé en milliers d'euros) de x tonnes de ce produit.
Pour 0≤x≤ 11, des études ont montré que f(x) = x³ - 12x² + 50x.
1. On admet que la fonction f est strictement croissante sur [0; 11].
Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal
(unités: 1 cm pour 1 tonne en abscisses et 1 cm pour 20 milliers d'euros en ordonnées)
2. L'entreprise vend son produit 30 000 euros la tonne.
On note g(x) la recette exprimée en milliers d'euros (l'argent gagné lors de la vente de x produit).
(a) Exprimer g(x) en fonction de x.
(b) Représenter graphiquement la fonction g dans le même repère que la fonction f. Justifier.
3. Déterminer graphiquement les quantités de produit que l'entreprise doit produire et vendre pour qu’elle soit bénéficiaire (la recette est supérieure aux coûts de production).
4. (a) Expliquer pourquoi l'entreprise sera bénéficiaire si et seulement si x(x^2-12x+20)<0
(b) Développer l'expression A(x) = (x-2)(x - 10).
(c) Résoudre l'inéquation x(x² - 12x +20) < 0 dans [0 ; 11]. (à l'aide d’un tableau de signes).
(d) Déduire des questions précédentes les quantités de produit que l’entreprise doit produire et vendre qu'elle fasse des bénéfices.
Lista de comentários
Bonjour ,
1)
Voir graph joint.
2)
30000 €=30 milliers d'€.
g(x)=30x
b)
x=10 donne g(10)=300
Tu as 2 points pour tracer Cg : (0;0) et (10;30).
3)
On cherche les "x" pour lesquels Cg est au-dessus de Cf.
Bénéfice si l'entreprise produit et vend entre 2 et 10 tonnes.
Pour x=2 et x=10 , le bénéfice est nul.
4)
a)
Bénéfice=B(x)
B(x)=g(x)-f(x)=30x-(x³-12x²+50x)=-x³+12x²-20x
B(x)=-x(x²-12x+20)
On veut B(x) > 0 donc on veut :
-x(x²-12x+20) > 0
On va multiplier par "-1" qui est négatif donc il faut changer > en < et on arrive à :
(-1)(-x)(x²-12x+20) < 0
x(x²-12x+20) < 0
b)
(x-2)(x-10)=x²-10x-2x+20=x²-12x+20
c)
Donc résoudre : x(x²-12x+20) < 0
revient à résoudre :
x(x-2)(x-10) < 0
x-2 > 0 ==> x > 2
x-10 > 0 ==> x > 10
Tableau de signes :
x---------------->0................2..................10...............11
x---------------->0........+.................+......................+......
(x-2)----------->........-..........0.........+.....................+........
(x-10)---------->.........-.....................-.........0.............+..........
x(x-2)(x-10)--->.......+........0...........-........0...........+.........
Donc :
x(x-2)(x-10) < 0 pour x ∈ ]2;10[
d)
Bénéfice si l'entreprise produit et vend entre 2 et 10 tonnes.
Pour x=2 et x=10 , le bénéfice est nul.