scoladan

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Bonjour,

1)

L'angle AOB vaut π/3.

Donc la somme des deux autres angle de AOB vaut 2π/3.

De plus, OA = OB = 1 car A et B appartiennent au cercle trigonométrique de centre O.

Donc AOB est isocèle en O. Et donc les angles OBA et BAO sont égaux.

==> Le triangle AOB est équilatéral.

Et OA = OB = AB = 1

b) Le périmètre de ABCDEF vaut 6 x AB = 6

c) Le périmètre du cercle valant 2π, on a donc une valeur approchée de π :

π environ = 6/2 = 3

2)

a) en degrés :
AOB = 60, AOG = 30, OAB = 60, DBA = 90, BDA = 30, DGA = 90

b)

Triangle DMO

Angle OMD = 90
Angle DOM = 60 car M appartient à [OC] et DOC = 60
donc angle ODM = 30

Triangle ONG

Angle ONG = 90
Angle NOG = 30
donc angle OGN = 60

Les triangles DMO et ONG ont les mêmes angles.

Mêmes angles et même hypoténuse, donc côtés égaux.

3) cos(GDN) = (côté adjacent)/(hypoténuse) = DN/DG

cos(GDA) = GD/DA

4)

Angle GDN = Angle GDA

==> cos(GDN) = cos(GDA)

==> DN/DG = GD/DA

==> DG^2 = DN x DA

DA = 2 et DN = DO + ON = 1 + ON

==> DG^2 = 2(1 + ON)

5) DG^2 = 2 + 2ON

ON = DM et DM = DB/2

donc DG^2 = 2 + DB

6) Dans le triangle ADB, rectangle en B :

AD^2 = AB^2 + DB^2

==> BD = Racine(AD^2 - AB^2)

soit BD = racine(2^2 - 1^2) = racine(3)

Donc DG^2 = 2 + BD = 2 + racine(3)

Dans le triangle GAD rectangle en G :

AD^2 = GA^2 + GD^2

==> GA = Racine(AD^2 - GD^2)

= Racine(4 - (2 + racine(3))

= Racine(2 - racine(3))

Périmètre du dodécagone = 12 x GA

Valeur approchée de π :

2π environ = 12 x Racine(2 - Racine(3))


soit π environ = 6 x Racine(2 - Racine(3))

soit environ 3,1058