1° - Para demonstrar a P.A. onde a1 + a2 = 5 e a3 + a5 = 40, com r = 7, podemos usar a fórmula do termo geral da P.A., que é:

an = a1 + (n - 1)r

Onde an é o termo que queremos calcular, a1 é o primeiro termo da P.A., n é a posição do termo que queremos descobrir e r é a razão.

Substituindo os valores conhecidos na fórmula, temos:

a2 = a1 + (2 - 1)7

a2 = a1 + 7

a3 = a1 + (3 - 1)7

a3 = a1 + 14

a5 = a1 + (5 - 1)7

a5 = a1 + 28

Agora, podemos usar as equações dadas para encontrar o valor de a1. Temos:

a1 + a2 = 5

a1 + (a1 + 7) = 5

2a1 + 7 = 5

2a1 = -2

a1 = -1

Substituindo esse valor nas outras equações, encontramos os valores de a2, a3 e a5. Temos:

a2 = -1 + 7

a2 = 6

a3 = -1 + 14

a3 = 13

a5 = -1 + 28

a5 = 27

Agora, podemos demonstrar a P.A. usando esses valores. A P.A. é:

(-1, 6, 13, …, an)

2° - Para demonstrar a P.A. onde a4 = 20 e a8 = 32, podemos usar novamente a fórmula do termo geral da P.A. Substituindo os valores conhecidos na fórmula, temos:

20 = a1 + (4 - 1)r

32 = a1 + (8 - 1)r

Simplificando, temos:

20 = a1 + 3r

32 = a1 + 7r

Esse é um sistema de equações do primeiro grau com duas variáveis, que podemos resolver usando algum método, como o da substituição ou o da eliminação. Por exemplo, usando o método da eliminação, podemos multiplicar a primeira equação por -7 e somar com a segunda equação. Assim, temos:

-140 = -7a1 - 21r

32 = a1 + 7r

-108 = -6a1 - 14r

Isolando r, temos:

r = (-108 + 6a1) / (-14)

Substituindo esse valor de r na primeira equação, temos:

20 = a1 + 3((-108 + 6a1) / (-14))

Multiplicando tudo por -14 para eliminar o denominador, temos:

-280 = -14a1 -18(108 -6a1)

Simplificando e resolvendo para a1, temos:

-280 = -14a1 -1944 +108a1

94a1 = -1664

a1 = -1664 /94

a1 ≈ -17,70

Substituindo esse valor na equação de r, temos:

r ≈ (-108 +6(-17,70)) / (-14)

r ≈ (-108 +106,20) / (-14)

r ≈ (-1,80) / (-14)

r ≈ 0,13

Portanto, os valores aproximados de a1 e r são -17,70 e 0,13. Podemos demonstrar a P.A. usando esses valores. A P.A. é:

(-17,70; -17,57; …, an)

3° - Para calcular a soma dos 9 termos de uma P.A. onde a3 = 12 e r = 3, podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma P.A., que é:

Sn = (a1 + an)n / 2

Onde Sn é a soma dos n termos, a1 é o primeiro termo, an é o último termo e n é o número de termos.

Para usar essa fórmula, precisamos encontrar os valores de a1 e a9. Para isso, podemos usar a fórmula do termo geral da P.A. Substituindo os valores conhecidos na fórmula, temos:

12 = a1 + (3 - 1)3

12 = a1 + 6

a1 = 12 - 6

a1 = 6

a9 = a1 + (9 - 1)3

a9 = 6 + 24

a9 = 30

Agora, podemos substituir esses valores na fórmula da soma dos termos da P.A. Temos:

S9 = (6 + 30)9 / 2

S9 = 36 x 9 / 2

S9 = 324 / 2

S9 = 162

Portanto, a soma dos 9 termos da P.A. é 162.