Um famoso paradoxo grego, conhecido como "Aquiles e a tartaruga", diz que Aquiles, ao apostar uma corrida com uma tartaruga, nunca irá ultrapassa-lá. Nesse paradoxo, a tartaruga começa a uma distância da frente do homem e possui uma velocidade v, que é dez vezes menor do que a velocidade de Aquiles. Nessas condições, ele nunca alcançaria a tartaruga, pois, ao percorrer a distância d, a tartaruga terá percorrido d/10, quando Aquiles percorrer mais d/10, a tartaruga terá percorrido mais d/100 e assim por diante. Porém, existe uma solução para esse paradoxo, que consiste no fato de que é possível ter um resultado finito para uma soma de infinitos termos.
Nesse paradoxo, o tempo que Aquiles levará para alcançar a tartaruga é?
A) d/10v.
B) d/9v.
C) 9d/10v.
D) 10d/9v.
E) 9d/v.
Nesse paradoxo, o tempo que Aquiles levará para alcançar a tartaruga é?
A) d/10v.
B) d/9v.
C) 9d/10v.
D) 10d/9v.
E) 9d/v.
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Para resolver o paradoxo de "Aquiles e a tartaruga", podemos utilizar a fórmula de soma de uma série infinita.
Vamos supor que Aquiles leve um tempo T para alcançar a tartaruga. Nesse tempo, a tartaruga percorrerá uma distância igual a d/10, pois sua velocidade é dez vezes menor que a velocidade de Aquiles.
Agora, em um novo intervalo de tempo T, Aquiles percorrerá a distância d, e a tartaruga percorrerá a distância d/10 novamente. Isso acontecerá repetidamente.
Podemos escrever essas distâncias percorridas por Aquiles e pela tartaruga após cada intervalo de tempo T:
Após 1T:
Aquiles: d
Tartaruga: d/10
Após 2T:
Aquiles: 2d
Tartaruga: d/10 + d/10 = 2d/10 = d/5
Após 3T:
Aquiles: 3d
Tartaruga: d/10 + d/5 = 3d/10
Após nT:
Aquiles: nd
Tartaruga: nd/10
A partir disso, podemos perceber que a distância entre Aquiles e a tartaruga diminui progressivamente em um fator de 9d/10 a cada intervalo de tempo T.
Agora, queremos encontrar o tempo T necessário para que a distância entre Aquiles e a tartaruga seja reduzida a zero, ou seja, quando Aquiles alcançar a tartaruga.
Vamos chamar o tempo total necessário para que isso aconteça de T_total.
No momento em que Aquiles alcançar a tartaruga, a distância entre eles será igual a zero:
0 = 9d/10 × nT_total
Para a distância ser zero, o fator multiplicativo também deve ser zero:
9d/10 = 0
Portanto, temos que nT_total = 0, o que implica que T_total = 0.
Isso significa que o tempo necessário para Aquiles alcançar a tartaruga é zero, ou seja, ele alcança a tartaruga instantaneamente.
Resposta correta: A) d/10v.