Réponse :

Voici une solution possible pour ce problème:

Démontrer que l'ensemble E est non vide:

Pour démontrer que l'ensemble E est non vide, nous devons montrer qu'il existe au moins un réel x tel que f(x) = 0. Nous allons utiliser le théorème du signe pour trouver cet x.La fonction f(x) est une fonction polynômiale de degré 5. Elle est donc continues sur tout R. De plus, elle prend des valeurs positives pour x très grands et des valeurs négatives pour x très petits.

En effet, pour x très grands, on a:f(x) = x^5 - 5x^3 + 3x + 1 ≈ x^5qui est positif.

Et pour x très petits, on a:

f(x) = x^5 - 5x^3 + 3x + 1 ≈ -5x^3qui est négatif. Par conséquent, la fonction f(x) doit avoir au moins une racine, c'est-à-dire un x tel que f(x) = 0. Donc, l'ensemble E est non vide.

Démontrer que l'ensemble E comprend au moins trois éléments:

La fonction f(x) est une fonction polynômiale de degré 5. Selon le théorème de l'algorithme de la division, tout polynôme de degré n a au plus n racines. Donc, la fonction f(x) a au plus 5 racines. Or, nous avons déjà démontré que l'ensemble E est non vide, donc il comprend au moins une racine. Donc, il comprend au moins deux racines en plus de cette première racine.

Déterminer l'ensemble E et en donner une liste complète de ses éléments:

Pour déterminer l'ensemble E et trouver toutes ses racines, nous devons résoudre l'équation f(x) = 0. Nous pouvons le faire en utilisant une technique de résolution de polynômes, comme

Explications étape par étape :